Última atualização: 2021-05-11

## R

https://github.com/filipezabala/desempateTecnico

version
##                _
## platform       x86_64-apple-darwin17.0
## arch           x86_64
## os             darwin17.0
## system         x86_64, darwin17.0
## status
## major          4
## minor          0.5
## year           2021
## month          03
## day            31
## svn rev        80133
## language       R
## version.string R version 4.0.5 (2021-03-31)
## nickname       Shake and Throw

## Inferência dos institutos

$IC( p_{A_{i}}, 1 - \alpha ) = \hat{p}_{A_i} \mp z_{1 - \frac{\alpha}{2} } \sqrt{ \dfrac{ \hat{p}_{A_i} (1- \hat{p}_{A_i})}{n} }$

• Desconsidera-se que para os $$k$$ candidatos $\sum_{i=1}^k p_{A_{i}} = 1$

## Exemplo 2 candidatos

$\hat{p}_{A_{1_{( \; )}}}=\frac{217}{398} \approx 0.545, \;\;\;\; \hat{p}_{A_{2_{[ \; ]}}}=\frac{181}{398} \approx 0.455$

library(desempateTecnico)
ci_prop(217, 398, .05)
## p_hat = 0.5452, IC[ 0.496 ; 0.594 ]
ci_prop(181, 398, .05)
## p_hat = 0.4548, IC[ 0.406 ; 0.504 ]

## Exemplo 3 candidatos

$\hat{p}_{A_{1_{(\;)}}}=\frac{217}{568} \approx 0.382, \;\;\; \hat{p}_{A_{2_{[ \; ]}}}=\frac{181}{568} \approx 0.319, \;\;\; \hat{p}_{A_{3_{\{ \; \}}}}=\frac{170}{568} \approx 0.299$

ci_prop(217, 568, .05)
## p_hat = 0.382, IC[ 0.342 ; 0.422 ]
ci_prop(181, 568, .05)
## p_hat = 0.3187, IC[ 0.28 ; 0.357 ]
ci_prop(170, 568, .05)
## p_hat = 0.2993, IC[ 0.262 ; 0.337 ]

## Simplex 2D

• Considera $$\sum_{i=1}^k p_{A_{i}} = 1$$.

## Simplex 2D

simplex2d()

## Simplex 3D

simplex3d(1/3,1/3,1/3,10,.05)   # Note a extrapolação da elipse
simplex3d(1/3,1/3,1/3,50,.05)   # Maior amostra, dentro dos limites
simplex3d(1/3,1/3,1/3,50,.01)   # alpha = 1%
simplex3d(1/3,1/3,1/3,50,.1)    # alpha = 10%
simplex3d(0.7,0.2,0.1,50,.05)   # Candidato A no primeiro turno
simplex3d(0.5,0.3,0.2,500,.05)  # Deve haver segundo turno
simplex3d(0.5,0.3,0.2,2500,.05) # Tamanho usual, epsilon=2%
• $n \approx \frac{1}{\varepsilon^2}$
• Como você definiria empate técnico?

## Inferência bayesiana

• Priori $h(\theta)$
• Verossimilhança $f(x | \theta)$
• Posteriori obtida através da operação bayesiana $h(\theta | x) \propto f(x | \theta) h(\theta)$

• Priori $\theta \sim Dir(1,1,\ldots,1)$
• Verossimilhança $X|\theta \sim Mult(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_p)$
• Posteriori $\theta|X \sim Dir\left(1+\sum_n I_{1},1+\sum_n I_{2},\ldots,1+\sum_n I_{p} \right)$

## Monte Carlo Ordinário

• Método de Monte Carlo, proposto por Metropolis & Ulam (1949)
• Estimativa da integral $\int g( \theta ) h( \theta | x ) d \theta = E \left[ g( \theta ) | x \right]$
• pela média empírica $\hat{E} \left[ g( \theta ) | x \right] = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} g( \theta_i )$

## Iminência do empate técnico

O limite inferior/superior do intervalo de confiança de um candidato é igual ao limite superior/inferior de outro candidato.

## Exemplo bayesiana #1

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes(c(.5813972562, .3158114522, .1027912916), 50)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0.8439"
## [2,] "B"     "0.0024"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.1519"
## [5,] "AC"    "0.0018"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #2

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes(c(.5144202347, .3246860305, .1608937348), 100)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0.5649"
## [2,] "B"     "3e-04"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.4312"
## [5,] "AC"    "0.0036"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #3

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes(c(.4160925601, .3316216347, .2522858052), 500)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "3e-04"
## [2,] "B"     "0"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.9886"
## [5,] "AC"    "0.0111"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #4

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes(c(.3919345050, .3324785813, .2755869137), 10^3)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"
## [2,] "B"     "0"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.9901"
## [5,] "AC"    "0.0099"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #5

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes(c(.3518464606, .3332479566, .3149055828), 10^4)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"
## [2,] "B"     "0"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.9905"
## [5,] "AC"    "0.0095"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #6

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes(c(.3391808234, .3333247966, .3274943799), 10^5)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"
## [2,] "B"     "0"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.9886"
## [5,] "AC"    "0.0114"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #7

# pa, pb e pc que levam à iminência de um empate múltiplo
# pela técnica dos institutos de pesquisa para 3 candidatos

bayes(c(.3333333335, .3333333333, .3333333331), 10^20)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"
## [2,] "B"     "0"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.9931"
## [5,] "AC"    "0.0069"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #8

bayes(c(.4,.3,.3), 1000)
##      cenario posteriori
## [1,] "A"     "0"
## [2,] "B"     "0"
## [3,] "C"     "0"
## [4,] "AB"    "0.5006"
## [5,] "AC"    "0.4994"
## [6,] "BC"    "0"

## Exemplo bayesiana #9

bayes(c(.3,.25,.2,.1,.05), 100)
##       cenario posteriori
##  [1,] "A"     "1e-04"
##  [2,] "B"     "0"
##  [3,] "C"     "0"
##  [4,] "D"     "0"
##  [5,] "E"     "0"
##  [6,] "AB"    "0.7569"
##  [7,] "AC"    "0.1994"
##  [9,] "AE"    "0"
## [10,] "BC"    "0.0417"
## [11,] "BD"    "3e-04"
## [12,] "BE"    "0"
## [13,] "CD"    "0"
## [14,] "CE"    "0"
## [15,] "DE"    "0"

## Exemplo bayesiana #10

bayes(rep(1/5,5), 500)
##       cenario posteriori
##  [1,] "A"     "0"
##  [2,] "B"     "0"
##  [3,] "C"     "0"
##  [4,] "D"     "0"
##  [5,] "E"     "0"
##  [6,] "AB"    "0.1001"
##  [7,] "AC"    "0.0997"
## [15,] "DE"    "0.0985"