Capítulo 4 Amostragem
Inicia com o plano amostral, uma avaliação que leva em conta as medidas a serem avaliadas e os recursos disponíveis. Da mesma forma que os laboratórios retiram amostras de sangue para exames de saúde, cozinheiros experimentam parte da comida para provar os temperos e fábricas realizam testes destrutivos em parte da sua produção para avaliar a qualidade do que está sendo produzido. Será feita uma breve revisão dos principais conceitos de amostragem baseada em (Bolfarine and Bussab 2005).
4.1 Definições básicas
4.1.1 Unidade Elementar
A unidade elementar pode ser um objeto, animal ou pessoa. Em certos casos existe mais de uma maneira de definir a unidade elementar, onde se faz necessário o entendimento dos especialistas envolvidos. A unidade elementar é uma das definições mais importantes do campo científico, pois é base de toda a construção das hipóteses de pesquisa.
4.1.2 Unidade Amostral
4.1.3 Sistema de referências
Em relação às informações de um estudo, deve-se fazer inicialmente uma avaliação das bases de dados já disponíveis para então proceder com a avaliação da viabilidade de um levantamento de dados mais específico. Este levantamento envolve se montar um plano amostral, contratar, treinar e manter pessoas para a coleta, criar os protocolos de resposta bem como gerar e analisar os bancos de dados. Caso decida-se realizar tal levantamento, serão necessárias listas relacionando as unidades populacionais e amostrais. Na falta de tais listas, utilizam-se sistemas de referências, que são fontes que descrevem o universo a ser investigado. Podem ser informações razoavelmente atualizadas, como mapas, censos ou listas reunidas.
4.2 Universo \(\mathcal{U}\)
Usualmente o universo possui tamanho \(N\) elevado, até mesmo infinito, mas em alguns casos pode ser relativamente pequeno. É denotado formalmente por \[\mathcal{U} = \lbrace 1,2 \ldots, N \rbrace.\]
4.2.1 Parâmetros
4.3 Amostras
4.3.1 Plano Amostral
Plano A \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples com reposição (AASc) \[P(11)=P(12)=P(13)=1/9 \\ P(21)=P(22)=P(23)=1/9 \\ P(31)=P(32)=P(33)=1/9 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \in \mathcal{A}(\mathcal{U}).\]
Plano B \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples sem reposição (AASs) \[P(12)=P(13)=1/6 \\ P(21)=P(23)=1/6 \\ P(31)=P(32)=1/6 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \in \mathcal{A}(\mathcal{U}).\]
Plano C \(\cdot\) Combinações \[P(12)=P(13)=P(23)=1/3 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \in \mathcal{A}(\mathcal{U}).\]
Plano D \[P(3)=9/27 \\ P(12)=P(23)=3/27 \\ P(111)=P(112)=P(113)=P(123)=1/27 \\ P(221)=P(222)=P(223)=P(231)=1/27 \\ P(331)=P(332)=P(333)=P(312)=1/27 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \in \mathcal{A}(\mathcal{U}).\]
4.3.2 Distribuições amostrais
idade do Exemplo 4.4 e as estatísticas \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\) e \(h_2(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-h_1(\boldsymbol{x}))^2\) aplicadas sobre o plano amostral A do Exemplo 4.16. Note que \(h_1(\boldsymbol{x})\) e \(h_2(\boldsymbol{x})\) são respectivamente a média e a variância amostrais. \(\\\)
- Plano A \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples com reposição (AASc)
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 11 | 12 | 13 | 21 | 22 | 23 | 31 | 32 | 33 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,24) | (24,32) | (24,49) | (32,24) | (32,32) | (32,49) | (49,24) | (49,32) | (49,49) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 24.0 | 28.0 | 36.5 | 28.0 | 32.0 | 40.5 | 36.5 | 40.5 | 49.0 |
| \(h_2(\boldsymbol{x})\) | 0.0 | 32.0 | 312.5 | 32.0 | 0.0 | 144.5 | 312.5 | 144.5 | 0.0 |
| \(h_1\) | 24.0 | 28.0 | 32.0 | 36.5 | 40.5 | 49.0 | Total |
| \(f_{h1}\) | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 9 |
| \(p_{h1}\) | 1/9 | 2/9 | 1/9 | 2/9 | 2/9 | 1/9 | 1 |
| \(h_2\) | 0.0 | 32.0 | 144.5 | 312.5 | Total |
| \(f_{h2}\) | 3 | 2 | 2 | 2 | 9 |
| \(p_{h2}\) | 3/9 | 2/9 | 2/9 | 2/9 | 1 |
idade do Exemplo 4.4 e a estatística \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), agora aplicada sobre o plano amostral B do Exemplo 4.16. \(\\\)
- Plano B \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples sem reposição (AASs)
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 12 | 13 | 21 | 23 | 31 | 32 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,32) | (24,49) | (32,24) | (32,49) | (49,24) | (49,32) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 28.0 | 36.5 | 28.0 | 40.5 | 36.5 | 40.5 |
| \(h_1\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 | Total |
| \(f_{h1}\) | 2 | 2 | 2 | 6 |
| \(p_{h1}\) | 2/6 | 2/6 | 2/6 | 1 |
idade do Exemplo 4.4 e a estatística \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), agora aplicada sobre o plano amostral C do Exemplo 4.16. \(\\\)
- Plano C \(\cdot\) Combinações
| \(i\) | 1 | 2 | 3 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 12 | 13 | 23 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,32) | (24,49) | (32,49) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 |
| \(h_1\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 | Total |
| \(f_{h1}\) | 1 | 1 | 1 | 3 |
| \(p_{h1}\) | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 1 |
altura. Para os Exemplos 4.20 e 4.21, calcule também a estatística \(h_2(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-h_1(\boldsymbol{x}))^2\). \(\\\)
U <- 1:3 # universo
(aasc <- expand.grid(U,U)) # AASc de tamanho n=2## Var1 Var2
## 1 1 1
## 2 2 1
## 3 3 1
## 4 1 2
## 5 2 2
## 6 3 2
## 7 1 3
## 8 2 3
## 9 3 3(aasc <- cbind(aasc[,2],aasc[,1])) # trocando as colunas para melhor leitura## [,1] [,2]
## [1,] 1 1
## [2,] 1 2
## [3,] 1 3
## [4,] 2 1
## [5,] 2 2
## [6,] 2 3
## [7,] 3 1
## [8,] 3 2
## [9,] 3 3(aass <- aasc[-c(1,5,9),]) # AASs de tamanho n=2## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 1
## [4,] 2 3
## [5,] 3 1
## [6,] 3 2x1 <- c(24,32,49) # dados de idade
n <- ncol(aasc)
# AASc
(xc <- cbind(x1[aasc[,1]], x1[aasc[,2]])) # dados amostrais de idade com reposição## [,1] [,2]
## [1,] 24 24
## [2,] 24 32
## [3,] 24 49
## [4,] 32 24
## [5,] 32 32
## [6,] 32 49
## [7,] 49 24
## [8,] 49 32
## [9,] 49 49(mxc <- rowMeans(xc)) # estatística h1(x) aplicada na AASc## [1] 24.0 28.0 36.5 28.0 32.0 40.5 36.5 40.5 49.0(tabc <- table(mxc)) # frequência amostral de h1(y) aplicada na AASc## mxc
## 24 28 32 36.5 40.5 49
## 1 2 1 2 2 1MASS::fractions(prop.table(tabc)) # distribuição amostral de h1(x) aplicada na AASc## mxc
## 24 28 32 36.5 40.5 49
## 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 1/9# vyc <- (rowMeans(xc^2)-mxc^2)*(n/(n-1))
# AASs
(xs <- cbind(x1[aass[,1]], x1[aass[,2]])) # dados amostrais de idade sem reposição## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 24
## [4,] 32 49
## [5,] 49 24
## [6,] 49 32(mxs <- rowMeans(xs)) # estatística h(x) aplicada na AASs## [1] 28.0 36.5 28.0 40.5 36.5 40.5(tabs <- table(mxs)) # frequência amostral de h(x) aplicada na AASs## mxs
## 28 36.5 40.5
## 2 2 2MASS::fractions(prop.table(tabs)) # distribuição amostral de h(x) aplicada na AASs## mxs
## 28 36.5 40.5
## 1/3 1/3 1/3arrangements do R. Note que são obtidas as amostras via AASs através da função permutations e as amostras por combinação, sem qualquer tipo de repetição, pela função combinations.
library(arrangements)
x1 <- c(24,32,49) # dados de idade
# AASs
npermutations(3,2) # número de AASs## [1] 6(aass <- permutations(3,2)) # gerando as AASs## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 1
## [4,] 2 3
## [5,] 3 1
## [6,] 3 2(maass <- matrix(x1[t(aass)], ncol=2, byrow = T))## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 24
## [4,] 32 49
## [5,] 49 24
## [6,] 49 32rowMeans(maass)## [1] 28.0 36.5 28.0 40.5 36.5 40.5mean(rowMeans(maass)) # plano amostral não viesado## [1] 35# Combinações
ncombinations(3,2) # número de amostras via combinação## [1] 3(comb <- combinations(3,2)) # gerando as amostras via combinação## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 3(mcomb <- matrix(x1[t(comb)], ncol=2, byrow = T))## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 49rowMeans(mcomb)## [1] 28.0 36.5 40.5mean(rowMeans(mcomb)) # plano amostral não viesado## [1] 35Teorema Central do Limite
O Teorema Central do Limite (TCL) é um dos principais resultados da Probabilidade. Ele mostra que, sob certas condições razoavelmente alcançadas na prática, a soma ou média de uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid)23 têm distribuição aproximadamente normal. Este resultado permite a resolução aproximada de problemas que envolvam muitos cálculos, usualmente impraticáveis dado o volume de operações necessárias.
A correção de continuidade ocorre quando soma-se 0.5 no numerador da Equação (4.4). (James 2010) sugere o uso da expressão ‘Teorema Central do Limite’ no lugar de ‘Teorema do Limite Central,’ pois central é o teorema, não o limite. A origem da expressão é atribuída ao matemático húngaro George Pólya, ao se referir a der zentrale Grenzwertsatz, i.e., o ‘central’ refere-se ao ‘teorema do limite.’
Distribuição amostral da proporção
A proporção é uma média no caso de a variável admitir apenas os valores 0 e 1, portanto o TCL se aplica diretamente a este tipo de estrutura.
n <- 420
p <- 0.5
S <- 200
mS <- n*p # 210
sS <- sqrt(n*p*(1-p)) # 10.24695
# Aproximação da binomial pela normal SEM correção de continuidade
(z <- (S-mS)/sS)## [1] -0.976pnorm(z)## [1] 0.165# Aproximação da binomial pela normal COM correção de continuidade
(zc <- (S+0.5-mS)/sS)## [1] -0.927pnorm(zc)## [1] 0.177# Probabilidade exata
pbinom(S,n,p)## [1] 0.177Distribuição amostral da média
Com base no Teorema Central do Limite sabe-se que a distribuição das médias amostrais de qualquer variável \(X\) que satisfaça as condições do teorema converge para a distribuição normal. Considere que \(X\) tem uma distribuição \(\mathcal{D}\) qualquer, com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\), simbolizada por \[X \sim \mathcal{D}(\mu,\sigma).\] Pelo TCL, a distribuição das médias amostrais de qualqer tamanho \(n_0\) é tal que \[\bar{X}_{n_0} \sim \mathcal{N} \left( \mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n_0}} \right).\] A medida \(\sigma/\sqrt{n_0}\) é conhecida como erro padrão (da média). O TCL é um resultado assintótico24, portanto quanto mais próxima \(\mathcal{D}\) estiver de \(\mathcal{N}\), mais rápida deve ser a convergência de \(\bar{X}_{n_0}\) para a distribuição normal.
mu <- 100 # média de X
sigma <- 15 # desvio padrão de X
curve(dnorm(x, mean=mu, sd=sigma), from=mu-3*sigma, to=mu+3*sigma) # X ~ N(100,15)
n0 <- 25 # tamanho das amostras
n <- 200 # número de amostras
set.seed(1234) # fixando semente pseudo-aleatória para garantir replicação
a <- MASS::mvrnorm(n0, mu = rep(mu,n), Sigma = sigma^2*diag(n)) # amostras
ma <- colMeans(a) # médias das n amostras
hist(ma) # histograma das médias
mean(ma) # média das médias amostrais, próxima de mu## [1] 99.9sd(ma) # desvio padrão das médias, próximo de sigma/raiz(n0)## [1] 2.82sigma/sqrt(n0) # sigma/raiz(n0)## [1] 3n0 e n, verificando o que ocorre no histograma, média e desvio padrão de ma. Atente para o fato de que valores de n maiores que 1000 podem tornar o processo custoso computacionalmente.
4.3.3 Amostra representativa
Ouve-se frequentemente o argumento de que uma boa amostra é aquela que é representativa. Indagado sobre a definição de uma amostra representativa, a resposta mais comum é algo como: “aquela que é uma micro representação do universo.” Mas para se ter certeza de que uma amostra seja uma micro representação do universo para uma dada característica de interesse, deve-se conhecer o comportamento dessa mesma característica da população. Então, o conhecimento da população seria tão grande que tonar-se-ia desnecessária a coleta da amostra.
(Bolfarine and Bussab 2005, 14)
4.3.4 Tipos de amostras
Tipos de amostras segundo (Bolfarine and Bussab 2005) e (Jessen 1978).
Procedimentos probabilísticos objetivos são mais bem aceitos academicamente, ainda que na prática nem sempre possam ser executados. Quando isso ocorre, podem-se considerar procedimentos que sejam possíveis de serem executados.
4.4 Principais técnicas de amostragem
4.4.1 Amostragem Aleatória Simples
Amostragem Aleatória Simples (AAS) é o método mais básico de seleção de amostras, sendo referência para todos os demais planos amostrais. A partir de uma lista completa das \(N\) unidades elementares da população seleciona-se cada unidade amostral com igual probabilidade, de tal forma que a cada sorteio os elementos tenham a mesma chance de serem escolhidos. A necessidade de uma lista completa da população para realizar uma AAS pode eventualmente ser um limitante na aplicação deste tipo de metodologia, pois na prática nem sempre é possível obter tal listagem. Os planos amostrais A e B discutidos nos Exemplos 4.16, 4.19 e 4.20 são caracterizados como AAS.
AAS sem reposição - AASs
Caso a unidade sorteada seja retirada da população e seja realizado um novo sorteio, é dito que procedeu-se com uma AAS restrita ou sem reposição, indicado por AASs.
set.seed(1234) # Fixando a geração pseudo-aleatória
sort(sample(1:60, size = 6, replace = F)) # Apostando na Mega-Sena da CEF via AASs## [1] 16 22 28 37 44 58?set.seed,?sort e ?sample.
AAS com reposição - AASc
Caso a unidade sorteada tenha a chance de participar novamente da amostra, o procedimento é chamado AAS irrestrita ou com reposição, indicado por AASc.
4.4.2 Amostragem Sistemática
Considere uma população de \(N\) unidades elementares numeradas de 1 a \(N\). Para selecionar uma amostra de \(n\) observações sorteia-se aleatoriamente uma das primeiras \(k=N/n\) unidades, digamos \(a\), com probabilidade \(1/k\) selecionando sistematicamente as próximas observações a cada \(k\) unidades. Matematicamente, \[a, a+k, a+2k, \ldots, a+(n-1)k.\]
N <- 100 # Tamanho da população
n <- 5 # Tamanho da amostra
(k <- N/n) # Tamanho do salto## [1] 20set.seed(1) # Fixando a geração pseudo-aleatória
(a <- sample(1:k, size = 1)) # Amostra de tamanho 1 com probabilidade 1/k## [1] 4for(i in 1:n){print(a+(i-1)*k)} # Apresentando a amostra de tamanho n## [1] 4
## [1] 24
## [1] 44
## [1] 64
## [1] 84(a) Rode o código repetidas vezes retirando a linha
set.seed(1). O que você observa?(b) Refaça o exercício considerando outros valores de \(N\) e \(n\), tais que \(n<N\).
4.4.3 Amostragem Estratificada
Segundo (Bolfarine and Bussab 2005, 93),
Amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos (estratos) segundo alguma(s) característica(s) conhecida(s) na populaçãao sob estudo, e de cada um desses estratos são selecionadas amostras em proporções convenientes.
O objetivo deste tipo de amostragem é que o pesquisador possa se valer de estruturas pré-existentes de maneira a melhorar as inferências, reduzindo sua variabilidade.
4.5 Cálculo do tamanho da amostra
O cálculo do tamanho de amostra é baseado em uma série de premissas assumidas pelo pesquisador. Os valores sugeridos pelos diversos métodos de cálculo de tamanho de amostra devem ser considerados apenas como uma referência, dada a arbitrariedade das medidas utilizadas em sua obtenção. Tempo e custo são dois limitantes que devem ser levados em conta, podendo se sobrepor aos cálculos de tamanho de amostra.
A seguir serão apresentados casos bastante simples, mas suficientes para ilustrar os princípios utilizados. Para mais funcionalidades recomenda-se o pacote pwr (Champely 2020) do R e o software G*Power (A.-G. L. Franz Faul Edgard Erdfelder and Buchner 2007), (A. B. Franz Faul Edgard Erdfelder and Lang 2009). Para uma abordagem mais teórica recomenda-se (Chow, Wang, and Shao 2007).
4.5.1 Média
Uma forma de estimar o tamanho da amostra no caso da inferência para a media universal \(\mu\) é considerar a margem de erro da Equação (5.4) e isolar \(n\) na forma \[\begin{equation} n = \left \lceil{ \left( \frac{z \sigma}{\varepsilon} \right)^2 }\right \rceil. \tag{4.5} \end{equation}\]
O operador \(\left \lceil{ x }\right \rceil\) indica a função teto de \(x\), i.e., indica o primeiro inteiro acima de \(x\).
# Equação (3.8)
n_m <- function(z,sigma,e) {
exato <- (z*sigma/e)^2
teto <- ceiling(exato)
return(list(exato=exato,
teto=teto))
}
n_m(1.96,15,3)## $exato
## [1] 96
##
## $teto
## [1] 97n_m(1.96,15,3)$exato## [1] 96n_m(1.96,15,3)$teto## [1] 974.5.2 Proporção
Uma forma de estimar o tamanho da amostra no caso da inferência para a proporção universal \(\pi\) é considerar a margem de erro da Equação (5.6) e isolar \(n\) na forma \[\begin{equation} n = \left \lceil{ \frac{z^2 p (1-p)}{\varepsilon^2} }\right \rceil. \tag{4.7} \end{equation}\]
Em certos casos existe informação disponível sobre a proporção, mas quando não há qualquer conhecimento a respeito desta medida considera-se \(p=\frac{1}{2}\), ponto no qual \(p(1-p)\) atinge seu máximo.
Exemplo 4.31 (Tamanho da amostra para a proporção) Em uma pesquisa eleitoral deseja-se calcular o tamanho de amostra aproximado para que a margem de erro seja de \(\varepsilon = 2\%\) com confiança de \(1-\alpha = 95\%\). Considerando a Equação (4.7), sabe-se da tabela da distribuição normal padrão que \(z = 1.96 \approx 2\), e que \(p(1-p)\) atinge seu máximo quando \(p=\frac{1}{2}\). Assim, \[\begin{equation} n \approx \left \lceil{ \frac{2^2 \times \frac{1}{2} \times (1-\frac{1}{2})}{\varepsilon^2} }\right \rceil = \left \lceil{ \frac{1}{\varepsilon^2} }\right \rceil \tag{4.8} \end{equation}\]
Logo, um IC para a proporção com \(\alpha = 5\%\) para uma margem de erro de \(\varepsilon = 2\%\) pode ser calculado com um tamanho de amostra de aproximadamente \[ n \approx \left \lceil{ \frac{1}{0.02^2} }\right \rceil = 2500. \]# Equação (3.11)
n_p <- function(e) {
exato <- 1/e^2
teto <- ceiling(exato)
return(list(exato=exato,
teto=teto))
}
n_p(0.02)## $exato
## [1] 2500
##
## $teto
## [1] 2500n_p(0.02)$exato## [1] 2500n_p(0.02)$teto## [1] 2500n_p do Exemplo 4.31 com diferentes valores de margem de erro. Faça um gráfico para analisar a variação do tamanho da amostra à medida que \(\varepsilon\) aumenta. \(\\\)
4.6 Para saber mais
O material Amostragem: Teoria e Prática Usando R, gentilmente disponibilizado pelos professores Pedro Luis do Nascimento Silva, Zélia Magalhães Bianchini e Antonio José Ribeiro Dias, é uma fonte muito rica para informações adicionais sobre este tópico. Está disponível ainda o livro Análise de Dados Amostrais Complexos, também do professor Pedro Silva em parceria com o professor Djalma Pessoa.
O professor Pedro também compartilhou o vídeo e os slides da apresentação Combinando amostras para aprimorar estimativas – aventuras na amostragem não probabilística, apresentado em 18 de outubro de 2020 no VII Encontro Baiano de Estatística.
Há ainda o curso de análise de dados amostrais usando R, preparado pelo Prof. Marcel Vieira para a International Association of Survey Statisticians (IASS). É um curso auto instrucional em inglês, com vídeos, apresentações sobre a teoria e material para prática individual, que inclui códigos em R e os dados necessários. O curso é gratuito e livre, e está disponível neste link.
Por fim, há também o pacote samplics escrito em Python, que realiza ponderação e análise de amostras complexas. Um tutorial do pacote está disponível neste link.
Referências
Fonte: http://www.tse.jus.br/eleicoes/estatisticas/estatisticas-eleitorais.↩︎
Variáveis que apresentam mesma distribuição de probabilidade com os mesmos parâmetros.↩︎
Um resultado assintótico é aquele que depende de uma ou mais variávies sendo observadas próximas a certos limites de referência.↩︎