4.5 Cálculo do tamanho da amostra
O cálculo do tamanho de amostra é baseado em uma série de premissas assumidas pelo pesquisador. Os valores sugeridos pelos diversos métodos de cálculo de tamanho de amostra devem ser considerados apenas como uma referência, dada a arbitrariedade das medidas utilizadas em sua obtenção. Tempo e custo são dois limitantes que devem ser levados em conta, podendo se sobrepor aos cálculos de tamanho de amostra. Para cálculos de tamanho de amostra em pesquisa clínica recomenda-se (Chow, Wang, and Shao 2007).
Ferramentas
- G*Power (A.-G. L. Franz Faul Edgard Erdfelder and Buchner 2007), (A. B. Franz Faul Edgard Erdfelder and Lang 2009) é uma ferramenta para calcular análises de poder estatístico e tamanhos de efeito para variados testes, permitindo exibir graficamente os resultados de análises de poder.
- (Seabold and Perktold 2010) apresentam
statsmodels, um módulo Python que fornece classes e funções para exploração de dados, testes e estimação de modelos estatísticos. pwr(Champely 2020) traz funções para análise de poder no R.- (Borges et al. 2021) apresenta o PSS Health, uma calculadora avançada de cálculo de tamanhos de amostra.
A seguir serão apresentados casos mais simples, suficientes para ilustrar os princípios utilizados.
4.5.1 Média
Uma forma de estimar o tamanho da amostra no caso da inferência para a media universal \(\mu\) é considerar a margem de erro da Equação (6.10) e isolar \(n\) na forma \[\begin{equation} n = \left \lceil{ \left( \frac{z \sigma}{\varepsilon} \right)^2 }\right \rceil. \tag{4.4} \end{equation}\]
O operador \(\left \lceil{ x }\right \rceil\) indica a função teto de \(x\), i.e., indica o primeiro inteiro acima de \(x\).
Exemplo 4.39 (Tamanho da amostra para a média) Deseja-se obter o tamanho de amostra para estimar a média de altura dos alunos da PUCRS. Considera-se um intervalo de confiança de \(1-\alpha = 95\%\), com margem de erro de \(\varepsilon = 3\) cm. De estudos anteriores, admite-se \(\sigma = 15\) cm. Considerando a Equação (4.4), sabe-se da tabela da distribuição normal padrão que \(z = 1.96\), assim \[n = \left \lceil{ \left( \frac{1.96 \times 15}{3} \right)^2 }\right \rceil = \left \lceil{ 96.04 }\right \rceil = 97.\]
n_m <- function(z,sigma,e) {
exact <- (z*sigma/e)^2
ceil <- ceiling(exact)
return(list(exact=exact,
ceiling=ceil))
}
n_m(1.96,15,3)## $exact
## [1] 96.04
##
## $ceiling
## [1] 97Exemplo 4.40 Em Python.
import math
def n_m(z, sigma, e):
"""
Calcula o tamanho amostral necessário para estimar a média.
Args:
z: Valor crítico da distribuição normal padrão.
sigma: Desvio padrão populacional.
e: Margem de erro.
Returns:
Um dicionário contendo o tamanho amostral exato e o tamanho
amostral arredondado para cima.
"""
exact = (z * sigma / e)**2
ceil = math.ceil(exact)
return {'exact': exact, 'ceiling': ceil}
# Exemplo de uso
result = n_m(1.96, 15, 3)
print(result) # Output: {'exact': 96.04, 'ceiling': 97}4.5.2 Proporção
Uma forma de estimar o tamanho da amostra no caso da inferência para a proporção universal \(\pi\) é considerar a margem de erro da Equação (6.8) e isolar \(n\) na forma \[\begin{equation} n = \left \lceil{ \frac{z^2 p (1-p)}{\varepsilon^2} }\right \rceil. \tag{4.5} \end{equation}\]
Em certos casos existe informação disponível sobre a proporção, mas quando não há qualquer conhecimento a respeito desta medida considera-se \(p=\frac{1}{2}\), ponto no qual \(p(1-p)\) atinge seu máximo.
Exercício 4.16 Verifique que \(p(1-p)\) atinge seu máximo quando \(p=\frac{1}{2}\).
Exemplo 4.41 (Tamanho da amostra para a proporção) Em uma pesquisa eleitoral deseja-se calcular o tamanho de amostra aproximado para que a margem de erro seja de \(\varepsilon = 2\%\) com confiança de \(1-\alpha = 95\%\). Considerando a Equação (4.5), sabe-se da tabela da distribuição normal padrão que \(z = 1.96 \approx 2\), e que \(p(1-p)\) atinge seu máximo quando \(p=\frac{1}{2}\). Assim, \[\begin{equation} n \approx \left \lceil{ \frac{2^2 \times \frac{1}{2} \times (1-\frac{1}{2})}{\varepsilon^2} }\right \rceil = \left \lceil{ \frac{1}{\varepsilon^2} }\right \rceil \tag{4.6} \end{equation}\]
Logo, um IC para a proporção com \(\alpha = 5\%\) para uma margem de erro de \(\varepsilon = 2\%\) pode ser calculado com um tamanho de amostra de \[ n = \left \lceil{ \frac{1}{0.02^2} }\right \rceil = 2500. \]
n_p <- function(e) {
exact <- 1/e^2
ceil <- ceiling(exact)
return(list(exact=exact,
ceiling=ceil))
}
n_p(0.02)## $exact
## [1] 2500
##
## $ceiling
## [1] 2500Exemplo 4.42 Em Python.
import math
def n_p(e):
"""
Calcula o tamanho amostral necessário para estimar uma proporção.
Args:
e: Margem de erro.
Returns:
Um dicionário contendo o tamanho amostral exato e o tamanho
amostral arredondado para cima.
"""
exact = 1 / e**2
ceil = math.ceil(exact)
return {'exact': exact, 'ceiling': ceil}
# Exemplo de uso
result = n_p(0.02)
print(result) # Output: {'exact': 2500.0, 'ceiling': 2500}Exercício 4.17 Teste a função n_p do Exemplo 4.41 com diferentes valores de margem de erro. Faça um gráfico para analisar a variação do tamanho da amostra à medida que \(\varepsilon\) aumenta.