1.8 Somatório

O somatório de \(n\) números \(x_1, x_2, ..., x_n\) é representado por \(\sum_{i=1}^n {x_i} = x_1 + x_2 + \dotsb + x_n\), e lê-se ‘somatório de xis \(i\) de um até ene’.

Exemplo 1.13 (Número de passos) Suponha que foi observada a variável \(X\): ‘número de passos até a lixeira mais próxima’ na cidade de Porto Alegre em \(n = 6\) ocasiões, conforme Tabela a seguir.

\(x_{1}\)	\(x_{2}\)	\(x_{3}\)	\(x_{4}\)	\(x_{5}\)	\(x_{6}\)
186	402	191	20	7	124

Esta tabela indica que na primeira ocasião foram caminhados 186 passos até localizar uma lixeira (representado por \(x_1=186\)), na segunda foram 402 passos (representado por \(x_2=402\)), e assim sucessivamente. Para calcular o total de passos caminhados, pode-se fazer \[\begin{equation} \sum_{i=1}^6 {x_i} = x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 186+402+191+20+7+124 = 930 \tag{1.1} \end{equation}\]

186+402+191+20+7+124         # R e RStudio são calculadoras

## [1] 930

x <- c(186,402,191,20,7,124) # Pode-se criar um vetor x
sum(x)                       # Usando a função 'sum', Eq. (1.1)

## [1] 930

sum(x^2)                     # Soma dos quadrados, Eq. (1.2)

## [1] 248506

Exemplo 1.14 Em Python.

# Python é uma calculadora
186 + 402 + 191 + 20 + 7 + 124  # Resultado: 930

## 930

# Pode-se criar um vetor e atribuir a x
x = [186, 402, 191, 20, 7, 124]

# Usando a função 'sum', apresentada na Eq. (1.1)
sum(x)  # Resultado: 930

## 930

# Soma dos quadrados, representada pela Eq. (1.2)
sum([i**2 for i in x])  # Resultado: 221570

## 248506

A letra grega \(\sum\) é o sigma maiúsculo, conforme Seção 1.10.1. Em muitos casos a simbologia de somatório é simplificada, utilizando-se \(\sum\), \(\sum_{x}\) ou \(\sum_{i}\). A seguir estão alguns exemplos mais avançados de uso mais sofisticado do somatório, podendo ser omitidos em uma primeira leitura. \[\begin{equation} \sum_{i=1}^n x_{i}^2 = x_{1}^2 + x_{2}^2 + \ldots + x_{n}^2 \tag{1.2} \end{equation}\]