3.1 Teoria dos Conjuntos

What is a set? By a set \(S\) we are to understand, according to Georg Cantor, “a collection into a whole, of definite, well-distinguished objects (called the ‘elements’ of \(S\)) of our perception or of our thought.”18 (Kamke 1950, 1)

Um conjunto é uma coleção de elementos, sem repetição e não ordenada. \(A\) é um subconjunto do conjunto \(B\) se os elementos de \(A\) são também elementos de \(B\); \(B\) é portanto um superconjunto de \(A\). (Iezzi and Murakami 1977, 19–A) apontam que formalmente não existe definição para conjunto, subconjunto, elemento e pertinência, pois estas são consideradas noções primitivas. Devido à variedade de notações possíveis, decidiu-se pela notação da ISO 8000-2:2009.

Seja \(A\) um conjunto e \(a\) um elemento de \(A\). \(a \in A\) simboliza que \(a\) é um elemento de \(A\) ou \(a\) pertence a \(A\). Se um elemento \(b\) não é um elemento de \(A\), anota-se \(b \notin A\). Um conjunto \(A\) é subconjunto do conjunto \(B\) se todos os elementos de \(A\) são também elementos de \(B\), simbolizado por \(A \subset B\) ou \(B \supset A\).

Definição 3.1 O cardinal de um conjunto indica seu número de elementos, denotado por \(|A|\).

Exemplo 3.4 (Conjunto, subconjunto, elemento e cardinal) Suponha o conjunto \(T\) formado pelos alunos que participam da seleção de truco da universidade. Pode-se anotar \[ T = \lbrace Aaron, Beatriz, Carlos, Denivaldo, Evelise \rbrace \equiv \lbrace a,b,c,d,e \rbrace. \] Cada aluno jogador da seleção de truco é elemento de \(T\). Pode-se dividir o conjunto \(T\) em dois subconjuntos, \[M = \lbrace a,c,d \rbrace\] \[F= \lbrace b,e \rbrace\] Os guris são elementos de \(M\), as gurias elementos de \(F\), \(|T|=5\), \(|M|=3\) e \(|F|=2\).

Exemplo 3.5 Considere os conjuntos \(T\), \(M\) e \(F\) definidos no Exemplo 3.4.

Conjunto-conjunto Elemento-conjunto
\(M \subset T\) \(a \in T\)
\(F \subset T\) \(a \in M\)
\(T \not\subset M\) \(a \notin F\)
\(T \not\subset F\) \(e \in T\)
\(F \not\subset M\) \(e \notin M\)
\(M \not\subset F\) \(e \in F\)

3.1.1 Conjunto Vazio

Conjunto vazio é um conjunto sem elementos, de cardinalidade zero e denotado por \(\lbrace \rbrace\) ou \(\emptyset\). Usualmente indica o resultado de uma operação de intersecção (Seção 3.1.2.2) onde não há elementos em comum entre os conjuntos considerados.

3.1.2 Operações

As operações em conjuntos são fundamentais na teoria das Probabilidades. O diagrama de Venn é uma representação visual de operações e relações entre conjuntos. Veja Gao (2021-12-27) - Venn Diagram cookbook in R para mais detalhes.

3.1.2.1 União \(\cup\)

A operação de união é representada pelo símbolo \(\cup\). Indica que o novo conjunto gerado deve considerar todos os elementos dos conjuntos envolvidos nesta operação. A união de uma coleção de conjuntos é anotada por \[\begin{equation} \cup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \tag{3.1} \end{equation}\]

Exemplo 3.6 (União) Se \(A=\{1,2,3,4,5\}\) e \(B=\{2,4,6,8\}\), \[A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8\}\]

A <- 1:5
B <- c(2,4,6,8)
base::union(A,B)
## [1] 1 2 3 4 5 6 8
base::union(B,A) # comutatividade, igual a union(A,B)
## [1] 2 4 6 8 1 3 5

Exemplo 3.7 Em Python.

import numpy as np

A = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
B = np.array([2, 4, 6, 8])

# União dos conjuntos A e B
uniao_AB = np.union1d(A, B)
print(uniao_AB)  # Output: [1 2 3 4 5 6 8]

# União dos conjuntos B e A (mesmo resultado)
uniao_BA = np.union1d(B, A)
print(uniao_BA)  # Output: [1 2 3 4 5 6 8]

3.1.2.2 Intersecção \(\cap\)

A operação intersecção é representada pelo símbolo \(\cap\). Indica que o novo conjunto gerado deve considerar apenas os elementos que sejam comuns aos conjuntos envolvidos nesta operação. A intersecção de uma coleção de conjuntos é anotada por \[\begin{equation} \cap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = A_1 A_2 \cdots A_n \tag{3.2} \end{equation}\]

Exemplo 3.8 (Intersecção) Suponha novamente os conjuntos \(A=\{1,2,3,4,5\}\) e \(B=\{2,4,6,8\}\). \[A \cap B = \{2,4\}\]

A <- 1:5
B <- c(2,4,6,8)
base::intersect(A,B)
## [1] 2 4
base::intersect(B,A) # comutatividade, igual a intersect(A,B)
## [1] 2 4

Exemplo 3.9 Em Python.

import numpy as np

A = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
B = np.array([2, 4, 6, 8])

# Interseção dos conjuntos A e B
intersecao_AB = np.intersect1d(A, B)
print(intersecao_AB)  # Output: [2 4]

# Interseção dos conjuntos B e A (mesmo resultado)
intersecao_BA = np.intersect1d(B, A)
print(intersecao_BA)  # Output: [2 4]

3.1.2.3 Complementar \(A^C\)

O complementar ou complemento absoluto do conjunto \(A\) indica que o novo conjunto gerado deve considerar os elementos que não pertencem a \(A\). Será representado por \(A^C=\Omega \backslash A\), onde \(\Omega\) representa o conjunto de todos os elementos considerados. Pode ser descrita formalmente por \[\begin{equation} A^C = \{ x \in \Omega : x \notin A \} \tag{3.3} \end{equation}\]

3.1.2.4 Diferença \(B \backslash A\)

A diferença ou complemento relativo entre os conjuntos \(B\) e \(A\) é denotada por \(B \backslash A\) ou \(B-A\). Pode ser lida como ‘os elementos que estão em \(B\) mas não estão em \(A\)’.

Exemplo 3.10 (Diferença) Suponha novamente os conjuntos \(A=\{1,2,3,4,5\}\) e \(B=\{2,4,6,8\}\). \[A \backslash B = \{1,3,5\}\] \[B \backslash A = \{6,8\}\]

A <- 1:5
B <- c(2,4,6,8)
base::setdiff(A,B)
## [1] 1 3 5
base::setdiff(B,A) # não comutatividade
## [1] 6 8

Exemplo 3.11 Em Python.

import numpy as np

A = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
B = np.array([2, 4, 6, 8])

# Diferença entre A e B
diff_AB = np.setdiff1d(A, B)
print(diff_AB)  # Output: [1 3 5]

# Diferença entre B e A
diff_BA = np.setdiff1d(B, A)
print(diff_BA)  # Output: [6 8]
Propriedades

Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos em um universo \(\Omega\).

\[\begin{equation} A \cup A^C = \Omega \tag{3.4} \end{equation}\]

\[\begin{equation} A \cap A^C = \emptyset \tag{3.5} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \emptyset^C = \Omega \tag{3.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \Omega^C = \emptyset \tag{3.7} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \text{Se} \;\; A \in B, \; \text{então} \;\; B^C \in A^C \tag{3.8} \end{equation}\]

\[\begin{equation} A \backslash B = A \cap B^C \tag{3.9} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (A \backslash B)^C = A^C \cup B \tag{3.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} A^C \backslash B^C = B \backslash A \tag{3.11} \end{equation}\]

Involução \[\begin{equation} (A^C)^C = A \tag{3.12} \end{equation}\]

Leis de De Morgan \[\begin{equation} (A \cup B)^C = A^C \cap B^C \tag{3.13} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (A \cap B)^C = A^C \cup B^C \tag{3.14} \end{equation}\]

3.1.3 Conjunto Potência

Conjunto potência de um conjunto \(A\) é o conjunto contendo todos os subconjuntos de \(A\), anotado por \(Po(A)\). Por definição o conjunto vazio \(\emptyset\) é subconjunto de \(Po(A)\), e o cardinal de \(Po(A)\) é dado por \(|Po(A)| = 2^{|A|}\).

Exemplo 3.12 (Cardinal e conjunto potência) Seja o conjunto \(A = \left\lbrace -9, 0, 5 \right\rbrace\). Sabe-se que \[ |A| = 3,\] \[ |Po(A)| = 2^{3} = 8 \] \[ Po(A) = \left\lbrace \emptyset, \left\lbrace -9 \right\rbrace, \left\lbrace 0 \right\rbrace, \left\lbrace 5 \right\rbrace, \left\lbrace -9, 0 \right\rbrace, \left\lbrace -9, 5 \right\rbrace, \left\lbrace 0, 5 \right\rbrace, \left\lbrace -9, 0, 5 \right\rbrace \right\rbrace \] (Evans 2022) apresenta a função rje::powerSet(), que produz o conjunto potência de um vetor.

A <- c(-9,0,5)
length(A)  # cardinal de A
## [1] 3
(po <- rje::powerSet(A)) # Po(A)
## [[1]]
## numeric(0)
## 
## [[2]]
## [1] -9
## 
## [[3]]
## [1] 0
## 
## [[4]]
## [1] -9  0
## 
## [[5]]
## [1] 5
## 
## [[6]]
## [1] -9  5
## 
## [[7]]
## [1] 0 5
## 
## [[8]]
## [1] -9  0  5
length(po) # cardinal de Po(A)
## [1] 8

Exemplo 3.13 Em Python.

from itertools import chain, combinations

def powerSet(iterable):
    """
    Calcula o conjunto das partes de um conjunto.

    Args:
      iterable: Um conjunto (lista, tupla, etc.) de elementos.

    Returns:
      Uma lista contendo todos os subconjuntos do conjunto de entrada.
    """
    s = list(iterable)
    return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s)+1))

A = [-9, 0, 5]

# Cardinalidade de A
print(len(A))  # Output: 3

# Conjunto das partes de A
po = list(powerSet(A))
print(po)
# Output: [(), (-9,), (0,), (5,), (-9, 0), (-9, 5), (0, 5), (-9, 0, 5)]

# Cardinalidade do conjunto das partes de A
print(len(po))  # Output: 8

3.1.4 Conjuntos Disjuntos e Partição

Conjuntos disjuntos são aqueles que não possuem elementos em comum. De forma equivalente, sua intersecção é o conjunto vazio. Uma partição é um agrupamento dos elementos de um conjunto em subconjuntos não vazios de forma que cada elemento esteja alocado em apenas um subconjunto.

Exemplo 3.14 (Conjunto disjunto e partição) Se as pessoas de uma população (\(\Omega\)) forem classificadas em sexo masculino (\(M\)) e feminino (\(F\)), anotado por \(\Omega = \{ M,F \}\), esta divisão forma uma partição desta população pois \[ M \cup F = \Omega \] \[ M \cap F = \emptyset. \]

References

Cantor, Georg. 1895. “Beiträge Zur Begründung Der Transfiniten Mengenlehre.” Mathematische Annalen 46 (4): 481–512. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF02124929.pdf.
Evans, Robin. 2022. Rje: Miscellaneous Useful Functions for Statistics. https://CRAN.R-project.org/package=rje.
Iezzi, G., and C. Murakami. 1977. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos, Funções. SP Editora Atual. https://barbosadejesu.files.wordpress.com/2021/09/fundamentos-da-matematica-elementar-1-.pdf.
Kamke, Erich. 1950. Theory of Sets. Courier Corporation.

  1. “Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung \(M\) von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten \(m\) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von \(M\) genannt werden) zu einem Ganzen.” (Cantor 1895, 481)↩︎