2.5 Outras medidas

2.5.1 Assimetria (ou Obliquidade)

Assimetria é uma medida que avalia a assimetria de uma distribuição de frequência. Existem diversas definições na literatura, das quais apresentam-se três alternativas. \[\begin{equation} g_1 = \dfrac{m_3}{m_2^{3/2}} = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^3}{\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{3/2}} \tag{2.41} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_1 = g_{1} \left( \dfrac{n-1}{n} \right)^{3/2} = \dfrac{m_3}{s^3} = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^3 }{\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{3/2}} \tag{2.42} \end{equation}\]

\[\begin{eqnarray} G_1 = g_{1} \sqrt{\dfrac{n(n-1)}{n-2}} = b_{1} \dfrac{n^2}{(n-1)(n-2)} \tag{2.43} \end{eqnarray}\]

Exemplo 2.90 Assimetria na distribuição normal.

# Gerando 100 valores N(0,1) com semente fixa
set.seed(1); x <- rnorm(100)
# Definição clássica de assimetria, Eq. (2.41)
e1071::skewness(x, type = 1)

## [1] -0.0722319

# Utilizada no SAS, SPSS e Excel, Eq. (2.43)
e1071::skewness(x, type = 2)

## [1] -0.07333656

# Padrão do R, MINITAB e BMDP, Eq. (2.42)
e1071::skewness(x, type = 3)

## [1] -0.07115113

Exemplo 2.91 Em Python.

import numpy as np
from scipy.stats import skew

# Define a semente para reprodutibilidade
np.random.seed(1)

# Gerando 100 valores de uma distribuição normal padrão
x = np.random.normal(size=100)

# Assimetria tipo 1 (definição clássica)
skewness_type1 = skew(x, bias=False)
print(skewness_type1)

# Assimetria tipo 2 (usada em SAS, SPSS e Excel)
skewness_type2 = skew(x,bias=False)*np.sqrt(len(x)*(len(x)-1))/(len(x)-2)
print(skewness_type2)

# Assimetria tipo 3 (padrão do R, usada em MINITAB e BMDP)
skewness_type3 = skew(x,bias=False)*np.sqrt(len(x)*(len(x)-1))/(len(x)-2)*((len(x)-1)/len(x))**(3/2)
print(skewness_type3)

Exemplo 2.92 Assimetria na distribuição qui-quadrado

# Gerando 100 valores X^2(1) com semente fixa
set.seed(1); x <- rchisq(100,1)
# Definição clássica de assimetria, Eq. (2.41)
e1071::skewness(x, type = 1)

## [1] 3.01709

# Utilizada no SAS, SPSS e Excel, Eq. (2.43)
e1071::skewness(x, type = 2)

## [1] 3.063232

# Padrão do R, utilizada no MINITAB e BMDP, Eq. (2.42)
e1071::skewness(x, type = 3)

## [1] 2.971947

Exemplo 2.93 Em Python.

import numpy as np
from scipy.stats import skew

# Define a semente para reprodutibilidade
np.random.seed(1)

# Gerando 100 valores de uma distribuição qui-quadrado com 1 gl
x = np.random.chisquare(df=1, size=100)

# Assimetria tipo 1 (definição clássica)
skewness_type1 = skew(x, bias=False)
print(skewness_type1)

# Assimetria tipo 2 (usada em SAS, SPSS e Excel)
skewness_type2 = skew(x,bias=False)*np.sqrt(len(x)*(len(x)-1))/(len(x)-2)
print(skewness_type2)

# Assimetria tipo 3 (padrão do R, usada em MINITAB e BMDP)
skewness_type3 = skew(x,bias=False)*np.sqrt(len(x)*(len(x)-1))/(len(x)-2)*((len(x)-1)/len(x))**(3/2)
print(skewness_type3)

2.5.2 Curtose

A curtose é uma medida de achatamento de uma distribuição de frequência. Assim como na assimetria, das diversas definições de curtose apresentam-se três alternativas.

\[\begin{eqnarray} g_2 = \dfrac{m_4}{m_2^{2}} - 3 = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^4}{\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{2}} - 3 \tag{2.44} \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} b_2 = (g_2 + 3) \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)^{2} - 3 = \dfrac{m_4}{s^4} - 3 = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^4 }{\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{2}} - 3 \tag{2.45} \end{eqnarray}\]

\[\begin{eqnarray} G_2 = \dfrac{ \left[ (n+1) g_2 + 6 \right] (n-1)}{(n-2)(n-3)} \tag{2.46} \end{eqnarray}\]

Exemplo 2.94 Curtose na distribuição normal.

# Gerando 100 valores N(0,1) com semente fixa
set.seed(1); x <- rnorm(100)
# Definição clássica de curtose, Eq. (2.44)
e1071::kurtosis(x, type = 1)

## [1] 0.007653206

# Usada no SAS, SPSS e Excel, Eq. (2.46)
e1071::kurtosis(x, type = 2)

## [1] 0.07053697

# Padrão do R, MINITAB e BMDP, Eq. (2.45)
e1071::kurtosis(x, type = 3)

## [1] -0.05219909

Exemplo 2.95 Em Python.

import numpy as np
from scipy.stats import kurtosis

# Define a semente para reprodutibilidade
np.random.seed(1)

# Gerando 100 valores de uma distribuição normal padrão
x = np.random.normal(size=100)

# Curtose tipo 1 (definição clássica)
kurtosis_type1 = kurtosis(x, bias=False, fisher=False)
print(kurtosis_type1)

# Curtose tipo 2 (usada em SAS, SPSS e Excel)
kurtosis_type2 = kurtosis(x,bias=False,fisher=True)*(len(x)-1)/((len(x)-2)*(len(x)-3))*(len(x)+1)+3
print(kurtosis_type2)

# Curtose tipo 3 (padrão do R, usada em MINITAB e BMDP)
kurtosis_type3 =  kurtosis(x,bias=False,fisher=True)*(len(x)+1)*(len(x)-1)/((len(x)-2)*(len(x)-3)) 
print(kurtosis_type3)

Exemplo 2.96 Curtose na distribuição qui-quadrado.

# Gerando 100 valores X^2(1) com semente fixa
set.seed(1); x <- rchisq(100,1)
# Definição clássica de curtose, Eq. (2.44)
e1071::kurtosis(x, type = 1)

## [1] 9.918662

# Usada no SAS, SPSS e Excel, Eq. (2.46)
e1071::kurtosis(x, type = 2)

## [1] 10.49555

# Padrão do R, MINITAB e BMDP, Eq. (2.45)
e1071::kurtosis(x, type = 3)

## [1] 9.661581

Exemplo 2.97 Em Python.

import numpy as np
from scipy.stats import kurtosis

# Define a semente para reprodutibilidade
np.random.seed(1)

# Gerando 100 valores de uma distribuição qui-quadrado com 1 gl
x = np.random.chisquare(df=1, size=100)

# Curtose tipo 1 (definição clássica)
kurtosis_type1 = kurtosis(x,bias=False,fisher=False)
print(kurtosis_type1)

# Curtose tipo 2 (usada em SAS, SPSS e Excel)
kurtosis_type2 = kurtosis(x,bias=False,fisher=True)*(len(x)-1)/((len(x)-2)*(len(x)-3))*(len(x)+1)+3
print(kurtosis_type2)

# Curtose tipo 3 (padrão do R, usada em MINITAB e BMDP)
kurtosis_type3 = kurtosis(x,bias=False,fisher=True)*(len(x)+1)*(len(x)-1)/((len(x)-2)*(len(x)-3))
print(kurtosis_type3)