4.3 Amostras
Definição 4.8 Considere o universo \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, \ldots, N \rbrace\). Uma amostra é qualquer sequência de \(n\) unidades de \(\mathcal{U}\), formalmente denotada por \[\boldsymbol{a} = (a_1,\ldots,a_n),\] onde o \(i\)-ésimo compomente de \(\boldsymbol{a}\) é tal que \(a_i \in \mathcal{U}\). \(\\\)
Exemplo 4.12 Seja \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\). Os vetores \(\boldsymbol{a}_A = (2,3)\), \(\boldsymbol{a}_B = (3,3,1)\), \(\boldsymbol{a}_C = (2)\), \(\boldsymbol{a}_D = (2,2,3,3,1)\) são possíveis amostras de \(\mathcal{U}\). \(\\\)
Exemplo 4.13 No Exemplo 4.12, note os tamanhos de amostra \(n_A = n(\boldsymbol{a}_A) = 2\), \(n_B = n(\boldsymbol{a}_B) = 3\), \(n_C = n(\boldsymbol{a}_C) = 1\) e \(n_D = n(\boldsymbol{a}_D) = 5\). \(\\\)
Definição 4.9 Seja \(\mathcal{A}(\mathcal{U})\) ou simplesmente \(\mathcal{A}\) o conjunto de todas as amostras de \(\mathcal{U}\), de qualquer tamanho, e \(\mathcal{A}_{n}(\mathcal{U})\) ou simplesmente \(\mathcal{A}_{n}\) a subclasse das as amostras de tamanho \(n\). \(\\\)
Exemplo 4.14 Se \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\), \[\mathcal{A}(\mathcal{U}) = \lbrace (1),(2),(3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),\ldots,(3,1,2,2,1),\ldots \rbrace,\] \[\mathcal{A}_{1}(\mathcal{U}) = \lbrace (1),(2),(3) \rbrace, \] \[\mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}) = \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) \rbrace. \] Simplificadamente \[\mathcal{A} = \lbrace 1,2,3,11,12,13,21,\ldots,31221,\ldots \rbrace,\] \[\mathcal{A}_{1} = \lbrace 1,2,3 \rbrace, \] \[\mathcal{A}_{2} = \lbrace 11,12,13,21,22,23,31,32,33 \rbrace. \]
Exemplo 4.15 No exemplo anterior, note o número de elementos (cardinalidade) de cada conjunto: \[|\mathcal{U}|=3\] \[|\mathcal{A}(\mathcal{U})| = \infty\] \[|\mathcal{A}_{1}(\mathcal{U})| = 3^1 = 3\] \[|\mathcal{A}_{2}(\mathcal{U})| = 3^2 = 9\] \[\vdots\] \[|\mathcal{A}_{n}(\mathcal{U})| = |\mathcal{U}|^n.\]
4.3.1 Plano Amostral
Definição 4.10 Um plano amostral (ordenado) é uma função \(P(\boldsymbol{a})\) definida em \(\mathcal{A}(\mathcal{U})\) satisfazendo \[P(\boldsymbol{a}) \ge 0, \; \forall \boldsymbol{a} \in \mathcal{A}(\mathcal{U}),\] tal que \[\sum_{\boldsymbol{a} \in \mathcal{A}} P(\boldsymbol{a}) = 1.\] \(\\\)
Exemplo 4.16 Considere \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\) e \(\mathcal{A}(\mathcal{U})\) conforme Exemplo 4.14. É possivel criar infinitos planos amostrais, tais como:
Plano A \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples com reposição (AASc) \[P(11)=P(12)=P(13)=1/9 \\ P(21)=P(22)=P(23)=1/9 \\ P(31)=P(32)=P(33)=1/9 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}).\]
Plano B \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples sem reposição (AASs) \[P(12)=P(13)=1/6 \\ P(21)=P(23)=1/6 \\ P(31)=P(32)=1/6 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}).\]
Plano C \(\cdot\) Combinações \[P(12)=P(13)=P(23)=1/3 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}).\]
Plano D \[P(3)=9/27 \\ P(12)=P(23)=3/27 \\ P(111)=P(112)=P(113)=P(123)=1/27 \\ P(221)=P(222)=P(223)=P(231)=1/27 \\ P(331)=P(332)=P(333)=P(312)=1/27 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}(\mathcal{U}).\]
Exemplo 4.17 Considere a amostra \(\boldsymbol{a} = (1,2)\) obtida do universo descrito Exemplo 4.4 a partir de algum plano amostral válido. Se o sujeito 1 tem 24 anos de idade e 1.66m de altura, e o sujeito 2 tem 32 anos de idade altura de 1.81m, \[\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2) = \left( \begin{bmatrix} 24 \\ 1.66 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 32 \\ 1.81 \end{bmatrix} \right) = \left( \begin{array}{cc} 24 & 32 \\ 1.66 & 1.81 \end{array} \right).\]
Definição 4.11 Uma estatística é uma função dos dados amostra \(\boldsymbol{a}\) anotada por \(h(\boldsymbol{x})\), i.e., qualquer medida numérica calculada a partir dos valores observados na amostra. \(\\\)
Exemplo 4.18 Considere \(\boldsymbol{x}\), a matriz dos dados da amostra \(\boldsymbol{a} = (1,2)\). São exemplos de estatísticas: \[h_1 = \frac{24+32}{2} = 28 \;\;\;\;\; \textrm{(média das idades)}\] \[h_2 = \frac{1.66+1.81}{2} = 1.735 \;\;\;\;\; \textrm{(média das alturas)}\] \[h_3 = 32-24 = 8 \;\;\;\;\; \textrm{(amplitude das idades)}\] \[h_4 = \sqrt{24^2+32^2} = \sqrt{1600} = 40 \;\;\;\;\; \textrm{(norma das idades)}\]
Exercício 4.4 Calcule as estatísticas do Exemplo 4.18 considerando as amostras \(\boldsymbol{a} = (1,3)\) e \(\boldsymbol{a} = (2,3)\).
4.3.2 Distribuições amostrais
Definição 4.12 A distribuição amostral de uma estatística \(h(\boldsymbol{x})\) segundo um plano amostral \(\lambda\), é a distribuição de probabilidades \(H(\boldsymbol{x})\) definida sobre \(\mathcal{A}_\lambda\), com função de probabilidade \[p_h = P_\lambda(H(\boldsymbol{x})=h) = P(h) = \frac{f_h}{|\mathcal{A}_\lambda|}.\] \(\\\)
Exemplo 4.19 Considere a variável idade do Exemplo 4.4 e as estatísticas \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\) e \(h_2(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-h_1(\boldsymbol{x}))^2\) aplicadas sobre o plano amostral A do Exemplo 4.16. Note que \(h_1(\boldsymbol{x})\) e \(h_2(\boldsymbol{x})\) são respectivamente a média e a variância amostrais. \(\\\)
- Plano A \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples com reposição (AASc)
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 11 | 12 | 13 | 21 | 22 | 23 | 31 | 32 | 33 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,24) | (24,32) | (24,49) | (32,24) | (32,32) | (32,49) | (49,24) | (49,32) | (49,49) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 24.0 | 28.0 | 36.5 | 28.0 | 32.0 | 40.5 | 36.5 | 40.5 | 49.0 |
| \(h_2(\boldsymbol{x})\) | 0.0 | 32.0 | 312.5 | 32.0 | 0.0 | 144.5 | 312.5 | 144.5 | 0.0 |
| \(h_1\) | 24.0 | 28.0 | 32.0 | 36.5 | 40.5 | 49.0 | Total |
| \(f_{h1}\) | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 9 |
| \(p_{h1}\) | 1/9 | 2/9 | 1/9 | 2/9 | 2/9 | 1/9 | 1 |
| \(h_2\) | 0.0 | 32.0 | 144.5 | 312.5 | Total |
| \(f_{h2}\) | 3 | 2 | 2 | 2 | 9 |
| \(p_{h2}\) | 3/9 | 2/9 | 2/9 | 2/9 | 1 |
\(\\\)
Exemplo 4.20 Considere novamente a variável idade do Exemplo 4.4 e a estatística \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), agora aplicada sobre o plano amostral B do Exemplo 4.16. \(\\\)
- Plano B \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples sem reposição (AASs)
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 12 | 13 | 21 | 23 | 31 | 32 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,32) | (24,49) | (32,24) | (32,49) | (49,24) | (49,32) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 28.0 | 36.5 | 28.0 | 40.5 | 36.5 | 40.5 |
| \(h_1\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 | Total |
| \(f_{h1}\) | 2 | 2 | 2 | 6 |
| \(p_{h1}\) | 2/6 | 2/6 | 2/6 | 1 |
\(\\\)
Exemplo 4.21 Considere novamente a variável idade do Exemplo 4.4 e a estatística \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), agora aplicada sobre o plano amostral C do Exemplo 4.16. \(\\\)
- Plano C \(\cdot\) Combinações
| \(i\) | 1 | 2 | 3 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 12 | 13 | 23 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,32) | (24,49) | (32,49) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 |
| \(h_1\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 | Total |
| \(f_{h1}\) | 1 | 1 | 1 | 3 |
| \(p_{h1}\) | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 1 |
\(\\\)
Exercício 4.5 Refaça os Exemplos 4.19, 4.20 e 4.21 considerando a variável altura. Para os Exemplos 4.20 e 4.21, calcule também a estatística \(h_2(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-h_1(\boldsymbol{x}))^2\). \(\\\)
## Var1 Var2
## 1 1 1
## 2 2 1
## 3 3 1
## 4 1 2
## 5 2 2
## 6 3 2
## 7 1 3
## 8 2 3
## 9 3 3## [,1] [,2]
## [1,] 1 1
## [2,] 1 2
## [3,] 1 3
## [4,] 2 1
## [5,] 2 2
## [6,] 2 3
## [7,] 3 1
## [8,] 3 2
## [9,] 3 3## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 1
## [4,] 2 3
## [5,] 3 1
## [6,] 3 2x1 <- c(24,32,49) # dados de idade
n <- ncol(aasc)
# AASc
(xc <- cbind(x1[aasc[,1]], x1[aasc[,2]])) # dados amostrais de idade com reposição## [,1] [,2]
## [1,] 24 24
## [2,] 24 32
## [3,] 24 49
## [4,] 32 24
## [5,] 32 32
## [6,] 32 49
## [7,] 49 24
## [8,] 49 32
## [9,] 49 49## [1] 24.0 28.0 36.5 28.0 32.0 40.5 36.5 40.5 49.0## mxc
## 24 28 32 36.5 40.5 49
## 1 2 1 2 2 1## mxc
## 24 28 32 36.5 40.5 49
## 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 1/9# vyc <- (rowMeans(xc^2)-mxc^2)*(n/(n-1))
# AASs
(xs <- cbind(x1[aass[,1]], x1[aass[,2]])) # dados amostrais de idade sem reposição## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 24
## [4,] 32 49
## [5,] 49 24
## [6,] 49 32## [1] 28.0 36.5 28.0 40.5 36.5 40.5## mxs
## 28 36.5 40.5
## 2 2 2## mxs
## 28 36.5 40.5
## 1/3 1/3 1/3Exemplo 4.23 As resoluçãos dos Exemplos 4.20 e 4.21 podem ser implementadas no pacote arrangements do R. Note que são obtidas as amostras via AASs através da função permutations e as amostras por combinação, sem qualquer tipo de repetição, pela função combinations.
library(arrangements)
x1 <- c(24,32,49) # dados de idade
# AASs
npermutations(3,2) # número de amostras via AASs## [1] 6## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 1
## [4,] 2 3
## [5,] 3 1
## [6,] 3 2## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 24
## [4,] 32 49
## [5,] 49 24
## [6,] 49 32## [1] 28.0 36.5 28.0 40.5 36.5 40.5## [1] 35## [1] 3## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 3## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 49## [1] 28.0 36.5 40.5## [1] 35Exercício 4.6 Generalize os Exemplos 4.22 e 4.21 para qualquer tamanho de amostra, parametrizando as opções com e sem reposição, bem como para combinações. Por fim, adicione um argumento que permita calcular qualquer estatística.
Distribuição amostral da média
Com base no Teorema Central do Limite descrito na Seção 3.9.2.1, sabe-se que a distribuição das médias amostrais de qualquer variável \(X\) que satisfaça as condições do teorema converge para a distribuição normal. Considere que \(X\) tem uma distribuição \(\mathcal{D}\) qualquer, com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\), simbolizada por \[X \sim \mathcal{D}(\mu,\sigma).\] Pelo TCL, a distribuição das médias amostrais de qualqer tamanho \(n_0\) é tal que \[\bar{X}_{n_0} \sim \mathcal{N} \left( \mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n_0}} \right).\] A medida \(\sigma/\sqrt{n_0}\) é conhecida como erro padrão (da média). O TCL é um resultado assintótico24, portanto quanto mais próxima \(\mathcal{D}\) estiver de \(\mathcal{N}\), mais rápida deve ser a convergência de \(\bar{X}_{n_0}\) para a distribuição normal.
Exemplo 4.24 Considere a variável aleatória \(X\): QI da população mundial, admitida com distribuição normal de média \(\mu=100\) e desvio padrão de \(\sigma=15\), anotada por \(X \sim \mathcal{N}(100,15)\).
mu <- 100 # média de X
sigma <- 15 # desvio padrão de X
curve(dnorm(x, mean=mu, sd=sigma), from=mu-3*sigma, to=mu+3*sigma) # X ~ N(100,15)
n0 <- 25 # tamanho das amostras
n <- 200 # número de amostras
set.seed(1234) # fixando semente pseudo-aleatória para garantir replicação
a <- MASS::mvrnorm(n0, mu = rep(mu,n), Sigma = sigma^2*diag(n)) # amostras
ma <- colMeans(a) # médias das n amostras
hist(ma) # histograma das médias
## [1] 99.90468## [1] 2.817847## [1] 3Exercício 4.7 Refaça o Exemplo 4.24 alterando os valores de n0 e n, verificando o que ocorre no histograma, média e desvio padrão de ma. Atente para o fato de que valores de n maiores que 1000 podem tornar o processo custoso computacionalmente.
4.3.3 Amostra representativa
Ouve-se frequentemente o argumento de que uma boa amostra é aquela que é representativa. Indagado sobre a definição de uma amostra representativa, a resposta mais comum é algo como: “aquela que é uma micro representação do universo”. Mas para se ter certeza de que uma amostra seja uma micro representação do universo para uma dada característica de interesse, deve-se conhecer o comportamento dessa mesma característica da população. Então, o conhecimento da população seria tão grande que tonar-se-ia desnecessária a coleta da amostra.
(Bolfarine and Bussab 2005, 14)
Neste material o termo “representativo” será condicional. Por exemplo, “representativo considerando as proporções populacionais aproximadas das variáveis \(X_1, \ldots, X_n\)”.
4.3.4 Tipos de amostras
Procedimentos probabilísticos objetivos são mais bem aceitos academicamente, ainda que na prática nem sempre possam ser executados. Quando isso ocorre, podem-se considerar procedimentos que sejam possíveis de serem executados.
Referências
Um resultado assintótico é aquele que depende de uma ou mais variávies sendo observadas próximas a certos limites de referência.↩︎