4.3 Amostras
Definição 4.8 Considere o universo \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, \ldots, N \rbrace\). Uma amostra é qualquer sequência de \(n\) unidades de \(\mathcal{U}\), formalmente denotada por \[\boldsymbol{a} = (a_1,\ldots,a_n),\] onde o \(i\)-ésimo compomente de \(\boldsymbol{a}\) é tal que \(a_i \in \mathcal{U}\). \(\\\)
Exemplo 4.12 Seja \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\). Os vetores \(\boldsymbol{a}_A = (2,3)\), \(\boldsymbol{a}_B = (3,3,1)\), \(\boldsymbol{a}_C = (2)\), \(\boldsymbol{a}_D = (2,2,3,3,1)\) são possíveis amostras de \(\mathcal{U}\). \(\\\)
Exemplo 4.13 No Exemplo 4.12, note os tamanhos de amostra \(n_A = n(\boldsymbol{a}_A) = 2\), \(n_B = n(\boldsymbol{a}_B) = 3\), \(n_C = n(\boldsymbol{a}_C) = 1\) e \(n_D = n(\boldsymbol{a}_D) = 5\). \(\\\)
Definição 4.9 Seja \(\mathcal{A}(\mathcal{U})\) ou simplesmente \(\mathcal{A}\) o conjunto de todas as amostras de \(\mathcal{U}\), de qualquer tamanho, e \(\mathcal{A}_{n}(\mathcal{U})\) ou simplesmente \(\mathcal{A}_{n}\) a subclasse das as amostras de tamanho \(n\). \(\\\)
Exemplo 4.14 Se \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\), \[\mathcal{A}(\mathcal{U}) = \lbrace (1),(2),(3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),\ldots,(3,1,2,2,1),\ldots \rbrace,\] \[\mathcal{A}_{1}(\mathcal{U}) = \lbrace (1),(2),(3) \rbrace, \] \[\mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}) = \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) \rbrace. \] Simplificadamente \[\mathcal{A} = \lbrace 1,2,3,11,12,13,21,\ldots,31221,\ldots \rbrace,\] \[\mathcal{A}_{1} = \lbrace 1,2,3 \rbrace, \] \[\mathcal{A}_{2} = \lbrace 11,12,13,21,22,23,31,32,33 \rbrace. \]
Exemplo 4.15 No exemplo anterior, note o número de elementos (cardinalidade) de cada conjunto: \[|\mathcal{U}|=3\] \[|\mathcal{A}(\mathcal{U})| = \infty\] \[|\mathcal{A}_{1}(\mathcal{U})| = 3^1 = 3\] \[|\mathcal{A}_{2}(\mathcal{U})| = 3^2 = 9\] \[\vdots\] \[|\mathcal{A}_{n}(\mathcal{U})| = |\mathcal{U}|^n.\]
4.3.1 Plano Amostral
Definição 4.10 Um plano amostral (ordenado) é uma função \(P(\boldsymbol{a})\) definida em \(\mathcal{A}(\mathcal{U})\) satisfazendo \[P(\boldsymbol{a}) \ge 0, \; \forall \boldsymbol{a} \in \mathcal{A}(\mathcal{U}),\] tal que \[\sum_{\boldsymbol{a} \in \mathcal{A}} P(\boldsymbol{a}) = 1.\] \(\\\)
Exemplo 4.16 Considere \(\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace\) e \(\mathcal{A}(\mathcal{U})\) conforme Exemplo 4.14. É possivel criar infinitos planos amostrais, tais como:
Plano A \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples com reposição (AASc) \[P(11)=P(12)=P(13)=1/9 \\ P(21)=P(22)=P(23)=1/9 \\ P(31)=P(32)=P(33)=1/9 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}).\]
Plano B \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples sem reposição (AASs) \[P(12)=P(13)=1/6 \\ P(21)=P(23)=1/6 \\ P(31)=P(32)=1/6 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}).\]
Plano C \(\cdot\) Combinações \[P(12)=P(13)=P(23)=1/3 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}_{2}(\mathcal{U}).\]
Plano D \[P(3)=9/27 \\ P(12)=P(23)=3/27 \\ P(111)=P(112)=P(113)=P(123)=1/27 \\ P(221)=P(222)=P(223)=P(231)=1/27 \\ P(331)=P(332)=P(333)=P(312)=1/27 \\ P(\boldsymbol{a}) = 0, \; \forall \boldsymbol{a} \notin \mathcal{A}(\mathcal{U}).\]
Exemplo 4.17 Considere a amostra \(\boldsymbol{a} = (1,2)\) obtida do universo descrito Exemplo 4.4 a partir de algum plano amostral válido. Se o sujeito 1 tem 24 anos de idade e 1.66m de altura, e o sujeito 2 tem 32 anos de idade altura de 1.81m, \[\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2) = \left( \begin{bmatrix} 24 \\ 1.66 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 32 \\ 1.81 \end{bmatrix} \right) = \left( \begin{array}{cc} 24 & 32 \\ 1.66 & 1.81 \end{array} \right).\]
Definição 4.11 Uma estatística é uma função dos dados amostra \(\boldsymbol{a}\) anotada por \(h(\boldsymbol{x})\), i.e., qualquer medida numérica calculada a partir dos valores observados na amostra. \(\\\)
Exemplo 4.18 Considere \(\boldsymbol{x}\), a matriz dos dados da amostra \(\boldsymbol{a} = (1,2)\). São exemplos de estatísticas: \[h_1 = \frac{24+32}{2} = 28 \;\;\;\;\; \textrm{(média das idades)}\] \[h_2 = \frac{1.66+1.81}{2} = 1.735 \;\;\;\;\; \textrm{(média das alturas)}\] \[h_3 = 32-24 = 8 \;\;\;\;\; \textrm{(amplitude das idades)}\] \[h_4 = \sqrt{24^2+32^2} = \sqrt{1600} = 40 \;\;\;\;\; \textrm{(norma das idades)}\]
Exercício 4.4 Calcule as estatísticas do Exemplo 4.18 considerando as amostras \(\boldsymbol{a} = (1,3)\) e \(\boldsymbol{a} = (2,3)\).
4.3.2 Distribuições amostrais
Definição 4.12 A distribuição amostral de uma estatística \(h(\boldsymbol{x})\) segundo um plano amostral \(\lambda\), é a distribuição de probabilidades \(H(\boldsymbol{x})\) definida sobre \(\mathcal{A}_\lambda\), com função de probabilidade \[p_h = P_\lambda(H(\boldsymbol{x})=h) = P(h) = \frac{f_h}{|\mathcal{A}_\lambda|}.\] \(\\\)
Exemplo 4.19 Considere a variável idade do Exemplo 4.4 e as estatísticas \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\) e \(h_2(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-h_1(\boldsymbol{x}))^2\) aplicadas sobre o plano amostral A do Exemplo 4.16. Note que \(h_1(\boldsymbol{x})\) e \(h_2(\boldsymbol{x})\) são respectivamente a média e a variância amostrais. \(\\\)
- Plano A \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples com reposição (AASc)
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 11 | 12 | 13 | 21 | 22 | 23 | 31 | 32 | 33 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/9 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,24) | (24,32) | (24,49) | (32,24) | (32,32) | (32,49) | (49,24) | (49,32) | (49,49) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 24.0 | 28.0 | 36.5 | 28.0 | 32.0 | 40.5 | 36.5 | 40.5 | 49.0 |
| \(h_2(\boldsymbol{x})\) | 0.0 | 32.0 | 312.5 | 32.0 | 0.0 | 144.5 | 312.5 | 144.5 | 0.0 |
| \(h_1\) | 24.0 | 28.0 | 32.0 | 36.5 | 40.5 | 49.0 | Total |
| \(f_{h1}\) | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 9 |
| \(p_{h1}\) | 1/9 | 2/9 | 1/9 | 2/9 | 2/9 | 1/9 | 1 |
| \(h_2\) | 0.0 | 32.0 | 144.5 | 312.5 | Total |
| \(f_{h2}\) | 3 | 2 | 2 | 2 | 9 |
| \(p_{h2}\) | 3/9 | 2/9 | 2/9 | 2/9 | 1 |
\(\\\)
Exemplo 4.20 Considere novamente a variável idade do Exemplo 4.4 e a estatística \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), agora aplicada sobre o plano amostral B do Exemplo 4.16. \(\\\)
- Plano B \(\cdot\) Amostragem Aleatória Simples sem reposição (AASs)
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 12 | 13 | 21 | 23 | 31 | 32 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,32) | (24,49) | (32,24) | (32,49) | (49,24) | (49,32) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 28.0 | 36.5 | 28.0 | 40.5 | 36.5 | 40.5 |
| \(h_1\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 | Total |
| \(f_{h1}\) | 2 | 2 | 2 | 6 |
| \(p_{h1}\) | 2/6 | 2/6 | 2/6 | 1 |
\(\\\)
Exemplo 4.21 Considere novamente a variável idade do Exemplo 4.4 e a estatística \(h_1(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\), agora aplicada sobre o plano amostral C do Exemplo 4.16. \(\\\)
- Plano C \(\cdot\) Combinações
| \(i\) | 1 | 2 | 3 |
| \(\boldsymbol{a}\) | 12 | 13 | 23 |
| \(P(\boldsymbol{a})\) | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
| \(\boldsymbol{x}\) | (24,32) | (24,49) | (32,49) |
| \(h_1(\boldsymbol{x})\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 |
| \(h_1\) | 28.0 | 36.5 | 40.5 | Total |
| \(f_{h1}\) | 1 | 1 | 1 | 3 |
| \(p_{h1}\) | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 1 |
\(\\\)
Exercício 4.5 Refaça os Exemplos 4.19, 4.20 e 4.21 considerando a variável altura. Para os Exemplos 4.20 e 4.21, calcule também a estatística \(h_2(\boldsymbol{x})=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-h_1(\boldsymbol{x}))^2\). \(\\\)
## Var1 Var2
## 1 1 1
## 2 2 1
## 3 3 1
## 4 1 2
## 5 2 2
## 6 3 2
## 7 1 3
## 8 2 3
## 9 3 3## [,1] [,2]
## [1,] 1 1
## [2,] 1 2
## [3,] 1 3
## [4,] 2 1
## [5,] 2 2
## [6,] 2 3
## [7,] 3 1
## [8,] 3 2
## [9,] 3 3## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 1
## [4,] 2 3
## [5,] 3 1
## [6,] 3 2x1 <- c(24,32,49) # dados de idade
n <- ncol(aasc)
# AASc
(xc <- cbind(x1[aasc[,1]], x1[aasc[,2]])) # dados amostrais de idade com reposição## [,1] [,2]
## [1,] 24 24
## [2,] 24 32
## [3,] 24 49
## [4,] 32 24
## [5,] 32 32
## [6,] 32 49
## [7,] 49 24
## [8,] 49 32
## [9,] 49 49## [1] 24.0 28.0 36.5 28.0 32.0 40.5 36.5 40.5 49.0## mxc
## 24 28 32 36.5 40.5 49
## 1 2 1 2 2 1## mxc
## 24 28 32 36.5 40.5 49
## 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 1/9# vyc <- (rowMeans(xc^2)-mxc^2)*(n/(n-1))
# AASs
(xs <- cbind(x1[aass[,1]], x1[aass[,2]])) # dados amostrais de idade sem reposição## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 24
## [4,] 32 49
## [5,] 49 24
## [6,] 49 32## [1] 28.0 36.5 28.0 40.5 36.5 40.5## mxs
## 28 36.5 40.5
## 2 2 2## mxs
## 28 36.5 40.5
## 1/3 1/3 1/3Exemplo 4.23 As resoluçãos dos Exemplos 4.20 e 4.21 podem ser implementadas no pacote arrangements do R. Note que são obtidas as amostras via AASs através da função permutations e as amostras por combinação, sem qualquer tipo de repetição, pela função combinations.
library(arrangements)
x1 <- c(24,32,49) # dados de idade
# AASs
npermutations(3,2) # número de amostras via AASs## [1] 6## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 1
## [4,] 2 3
## [5,] 3 1
## [6,] 3 2## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 24
## [4,] 32 49
## [5,] 49 24
## [6,] 49 32## [1] 28.0 36.5 28.0 40.5 36.5 40.5## [1] 35## [1] 3## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 3## [,1] [,2]
## [1,] 24 32
## [2,] 24 49
## [3,] 32 49## [1] 28.0 36.5 40.5## [1] 35Exercício 4.6 Generalize os Exemplos 4.22 e 4.21 para qualquer tamanho de amostra, parametrizando as opções com e sem reposição, bem como para combinações. Por fim, adicione um argumento que permita calcular qualquer estatística.
Teorema Central do Limite
O Teorema Central do Limite (TCL) é um dos principais resultados da Probabilidade. Ele mostra que, sob certas condições razoavelmente alcançadas na prática, a soma ou média de uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid)18 têm distribuição aproximadamente normal. Este resultado permite a resolução aproximada de problemas que envolvam muitos cálculos, usualmente impraticáveis dado o volume de operações necessárias.
Teorema 4.1 (Teorema Central do Limite de Lindeberg-Lévy) Seja \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) uma sequência de variáveis aleatórias iid com \(E(X_{i}) = \mu\) e \(V(X_{i}) = \sigma^2\). Considerando \(S=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}\), \(M=S/n\) e se \(n \longrightarrow \infty\), então \[\begin{equation} Z = \frac{S - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} = \dfrac{M - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0,1). \tag{4.4} \end{equation}\]
A correção de continuidade ocorre quando soma-se 0.5 no numerador da Equação (4.4). (James 2010) sugere o uso da expressão ‘Teorema Central do Limite’ no lugar de ‘Teorema do Limite Central’, pois central é o teorema, não o limite. A origem da expressão é atribuída ao matemático húngaro George Pólya, ao se referir a der zentrale Grenzwertsatz, i.e., o ‘central’ refere-se ao ‘teorema do limite’.
Distribuição amostral da proporção
A proporção é uma média no caso de a variável admitir apenas os valores 0 e 1, portanto o TCL se aplica diretamente a este tipo de estrutura.
Exemplo 4.24 (Aproximação da binomial pela normal) Se considerarmos \(n=420\) lançamentos de uma moeda com \(p=0.5\), temos que a v.a. \(X\): número de caras é tal que \(X \sim \mathcal{B}(420,0.5)\). A probabilidade de obtermos até 200 caras pode ser aproximada pelo pelo TCL. \[ Pr(X \le 200) \approx Pr \left( Z < \dfrac{200-420\times 0.5}{\sqrt{420 \times 0.5 \times 0.5}} \right) = \Phi(-0.9759) \approx 0.164557. \] Utilizando a correção de continuidade, \[ Pr(X \le 200) \approx Pr \left( Z < \dfrac{200+0.5-420\times 0.5}{\sqrt{420 \times 0.5 \times 0.5}} \right) = \Phi(-0.9271) \approx 0.176936. \] Com um computador é possível calcular a probabilidade exata, perceba a proximidade dos resultados. \[ Pr(X \le 200) = \left[ {420 \choose 0} + {420 \choose 1} + \cdots + {420 \choose 200} \right] 0.5^{420} = 0.1769429. \]
n <- 420
p <- 0.5
S <- 200
mS <- n*p # 210
sS <- sqrt(n*p*(1-p)) # 10.24695
# Aproximação da binomial pela normal SEM correção de continuidade
(z <- (S-mS)/sS)## [1] -0.9759001## [1] 0.164557## [1] -0.9271051## [1] 0.176936## [1] 0.1769429Distribuição amostral da média
Com base no Teorema Central do Limite sabe-se que a distribuição das médias amostrais de qualquer variável \(X\) que satisfaça as condições do teorema converge para a distribuição normal. Considere que \(X\) tem uma distribuição \(\mathcal{D}\) qualquer, com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\), simbolizada por \[X \sim \mathcal{D}(\mu,\sigma).\] Pelo TCL, a distribuição das médias amostrais de qualqer tamanho \(n_0\) é tal que \[\bar{X}_{n_0} \sim \mathcal{N} \left( \mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n_0}} \right).\] A medida \(\sigma/\sqrt{n_0}\) é conhecida como erro padrão (da média). O TCL é um resultado assintótico19, portanto quanto mais próxima \(\mathcal{D}\) estiver de \(\mathcal{N}\), mais rápida deve ser a convergência de \(\bar{X}_{n_0}\) para a distribuição normal.
Exemplo 4.25 Considere a variável aleatória \(X\): QI da população mundial, admitida com distribuição normal de média \(\mu=100\) e desvio padrão de \(\sigma=15\), anotada por \(X \sim \mathcal{N}(100,15)\).
mu <- 100 # média de X
sigma <- 15 # desvio padrão de X
curve(dnorm(x, mean=mu, sd=sigma), from=mu-3*sigma, to=mu+3*sigma) # X ~ N(100,15)
n0 <- 25 # tamanho das amostras
n <- 200 # número de amostras
set.seed(1234) # fixando semente pseudo-aleatória para garantir replicação
a <- MASS::mvrnorm(n0, mu = rep(mu,n), Sigma = sigma^2*diag(n)) # amostras
ma <- colMeans(a) # médias das n amostras
hist(ma) # histograma das médias
## [1] 99.90468## [1] 2.817847## [1] 3Exercício 4.7 Refaça o Exemplo 4.25 alterando os valores de n0 e n, verificando o que ocorre no histograma, média e desvio padrão de ma. Atente para o fato de que valores de n maiores que 1000 podem tornar o processo custoso computacionalmente.
4.3.3 Amostra representativa
Ouve-se frequentemente o argumento de que uma boa amostra é aquela que é representativa. Indagado sobre a definição de uma amostra representativa, a resposta mais comum é algo como: “aquela que é uma micro representação do universo”. Mas para se ter certeza de que uma amostra seja uma micro representação do universo para uma dada característica de interesse, deve-se conhecer o comportamento dessa mesma característica da população. Então, o conhecimento da população seria tão grande que tonar-se-ia desnecessária a coleta da amostra.
(Bolfarine and Bussab 2005, 14)
Neste material o termo “representativo” será condicional. Por exemplo, “representativo considerando as proporções populacionais aproximadas das variáveis \(X_1, \ldots, X_n\)”.
4.3.4 Tipos de amostras
Procedimentos probabilísticos objetivos são mais bem aceitos academicamente, ainda que na prática nem sempre possam ser executados. Quando isso ocorre, podem-se considerar procedimentos que sejam possíveis de serem executados.