5.2 Permutabilidade
Exchangeability is essentially an expression of symmetry in the probabilistic behaviour of events. (Barnett 1999, 90)
Definição 5.1 Permutabilidade por (Finetti 1930, 107). As operações \(R\) e \(S\) são permutáveis: \(RS=SR\), e portanto \(R^r S^s = S^s R^r = S^{s_1} R^{r_1} S^{s_2} R^{r_2} \ldots \;\;\) (\(s_1+s_2+\ldots = s\), \(r_1+r_2+\ldots = r\)).
Definição 5.2 Permutabilidade por (Finetti 1974, 211). Dados \(n\) eventos, as probabilidades (…) de que \(h\) deles ocorram (\(h = 0,1,\ldots,n\)) são agora arbitrárias. (…) No entanto, as combinações de \(h\) 1s e \(n-h\) 0s têm todos a mesma probabilidade.
Exemplo 5.2 (Cordani and Wechsler 2006) Considere uma amostra aleatória sem reposição de bolinhas de uma urna. A composição é conhecida, com 10 bolinhas vermelhas (V) e 5 brancas (B). As bolinhas são selecionadas uma a uma e define-se o evento \(V_i\) ocorrendo quando a \(i\)-ésima bola amostrada é vermelha. Analogamente, \(B\) pode ser usado para o evento relacionado à bolinha branca.
As probabilidades podem ser calculadas a partir do diagrama de árvore acima.
\[\begin{align*} Pr(V_1) &= \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \\ Pr(V_2) &= \frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14} + \frac{5}{15}\cdot\frac{10}{14} = \frac{2}{3} \\ Pr(V_3) &= \frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{8}{13} + \frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{9}{13} + \frac{5}{15}\cdot\frac{10}{14}\cdot\frac{9}{13} + \frac{5}{15}\cdot\frac{4}{14}\cdot\frac{10}{13} = \frac{2}{3} \\ Pr(V_1 V_2) &= \frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14} = \frac{3}{7} \\ Pr(V_2 V_3) &= \frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{8}{13} + \frac{5}{15}\cdot\frac{10}{14}\cdot\frac{9}{13} = \frac{3}{7} \\ Pr(V_1 V_3) &= \frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{8}{13} + \frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot\frac{9}{13} = \frac{3}{7} \\ Pr(V_2|V_1) &= \frac{9}{14} \end{align*}\]
Como \(Pr(V_2|V_1) = \frac{9}{14} \ne \frac{2}{3} = Pr(V_2)\), \(V_1\) e \(V_2\) não são independentes, i.e., o conhecimento sobre a ocorrência de \(V_1\) altera a probabilidade de \(V_2\).
Note que as probabilidades \(P(V_i)\) são iguais a 10/15, para \(i \in \{1,2,3\}\). Além disso, as probabilidades de interseção são tais que \(Pr(V_i V_j) = 3/7\) para \(i,j \in \{1,2,3\}\), \(i \ne j\). Isso acontece porque os referidos eventos são permutáveis. Este é um exemplo bem conhecido de dependência, com permutabilidade: as seleções são indistinguíveis, mas ainda assim dependentes.
Exemplo 5.3 Novamente com os dados do Exemplo 5.2, pode-se considerar as retiradas com reposição. Assim
\[\begin{align*} Pr(V_1) &= Pr(V_2) = Pr(V_3) = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \\ Pr(V_1 V_2) &= Pr(V_2 V_3) = Pr(V_1 V_3) = \frac{4}{9} \\ Pr(V_2|V_1) &= \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \end{align*}\]
Neste exemplo, obtemos as mesmas probabilidades \(Pr(V_1)\), \(Pr(V_2)\) e \(Pr(V_3)\) do Exemplo 5.2. As probabilidades condicionais, no entanto, agora são iguais às probabilidades incondicionais, por exemplo, \(Pr(V_2|V_1) = P(V_2)\). Esta é portanto uma situação em que os eventos não são apenas permutáveis, mas também independentes.
Vale ressaltar que em ambos os exemplos acima a urna tem composição conhecida. Se a composição for desconhecida, os eventos são apenas permutáveis mas não independentes, mesmo quando são feitos sorteios com reposição.