3.5 Lei da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes

Considere uma partição conforme digrama de Venn da figura acima, onde \(A_1, \ldots, A_5\) formam uma distribuição de probabilidade, i.e., \(\sum_{i=1}^{5} Pr(A_i) =1\). Pode-se decompor \(B\) da seguinte forma:
\[\begin{equation} B = \cup_{i=1}^{5} (A_i \cap B) \end{equation}\]

Teorema 3.1 (Lei da Probabilidade Total) Seja uma sequência enumerável de eventos aleatórios \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}\), formando uma partição de \(\Omega\). Como as intersecções \(A_i \cap B\) são mutuamente excludentes, então de (3.23)

\[\begin{equation} Pr(B) = \sum_{i=1}^k Pr(A_i \cap B) \tag{3.40} \end{equation}\]

Aplicando (3.34), pode-se escrever

\[\begin{equation} Pr(B) = \sum_{i} Pr(A_{i}) \cdot Pr(B|A_{i}) \tag{3.41} \end{equation}\]

\(\bigtriangleup\)

De (3.32) pode-se calcular a probabilidade de \(A_{i}\) dada a ocorrência de \(B\) por

\[\begin{equation} Pr(A_{i}|B) = \frac{Pr(A_{i} \cap B)}{Pr(B)} \tag{3.42} \end{equation}\]

Aplicando (3.41) no denominador e (3.34) no numerador de (3.42), \[\begin{equation} Pr(A_{i}|B) = \frac{Pr(A_{i}) \cdot Pr(B|A_{i})}{\sum_{j} Pr(A_{j}) \cdot Pr(B|A_{j})} \tag{3.43} \end{equation}\]

Este é o Teorema de Bayes (Bayes 1763), útil quando conhecemos as probabilidades condicionais de \(B\) dado \(A_{i}\), mas não diretamente a probabilidade de \(B\). Para uma discussão sobre probabilidade inversa, veja o Capítulo 3 de (Stigler 1986).

Exemplo 3.20 Considere os dados do Exemplo 1.2. É possível calcular \(Pr(D|T)\).
\[\begin{align*} Pr(D|T) =& \frac{Pr(D) \cdot Pr(T|D)}{Pr(D) \cdot Pr(T|D) + Pr(\bar{D}) \cdot Pr(T|\bar{D})} \\ =& \frac{0.1 \times 1}{0.1 \times 1 + 0.9 \times 0.1} \\ =& \frac{10}{19} \\ Pr(D|T) \approx& 0.5263 \\ \end{align*}\]

Exemplo 3.21 (Teorema de Bayes) Suponha uma caixa com três moedas, uma equilibrada18 e duas com duas faces cara. A probabilidade condicional de a moeda sorteada ter sido a equilibrada pode ser calculada. Para isso pode-se definir \(A_{1} :\) ‘a moeda retirada é equilibrada’, \(A_{2} :\) ‘a moeda retirada tem duas caras’ e \(B :\) ‘o resultado final é cara’ e aplicar a regra de Bayes, resultando em \[ Pr(A_{1}|B) = \frac{Pr(A_{1}) \cdot Pr(B|A_{1})}{Pr(A_{1}) \cdot Pr(B|A_{1}) + Pr(A_{2}) \cdot Pr(B|A_{2})} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times 1} = \frac{1}{5} = 0.2. \]

pa1 = 1/3
pa2 = 2/3
pba1 = 1/2
pba2 = 1
(pa1b = (pa1*pba1)/(pa1*pba1+pa2*pba2))
## [1] 0.2

Exercício 3.10 Obtenha \(Pr(A_{2}|B)\) pela Eq. (3.43) e verfique que \(Pr(A_{2}|B) = 1-Pr(A_{1}|B)\).

Exercício 3.11 Considere um teste cuja probabilidade de um falso positivo seja de 2% e a de um falso negativo de 5%. Se uma doença tem 1% de prevalência na população, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doença caso o teste dê positivo?

Exercício 3.12 Leia o resumo e faça os exercícios do Capítulo 2 dos Exercícios de Probabilidade do professor Élcio Lebensztayn.

Referências

Bayes, Thomas. 1763. “An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. By the Late Rev. Mr. Bayes, FRS Communicated by Mr. Price, in a Letter to John Canton, AMFR S.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1 (53): 370–418. https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/008/04/0080-0088.
———. 1986. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900. Harvard University Press.

  1. Termo técnico indicando que cada moeda possui uma face cara e outra face coroa, ambas com probabilidade \(\frac{1}{2}\) de ocorrência.↩︎