1.8 Somatório

O somatório de \(n\) números \(x_1, x_2, ..., x_n\) é representado por \(\sum_{i=1}^n {x_i} = x_1 + x_2 + \dotsb + x_n\), e lê-se ‘somatório de xis \(i\) de um até ene’.

Exemplo 1.6 (Número de passos) Suponha que foi observada a variável \(X\): ‘número de passos até a lixeira mais próxima’ na cidade de Porto Alegre em \(n = 6\) ocasiões, conforme Tabela a seguir.

\(x_{1}\) \(x_{2}\) \(x_{3}\) \(x_{4}\) \(x_{5}\) \(x_{6}\)
186 402 191 20 7 124

Esta tabela indica que na primeira ocasião foram caminhados 186 passos até localizar uma lixeira (representado por \(x_1=186\)), na segunda foram 402 passos (representado por \(x_2=402\)), e assim sucessivamente. Para calcular o total de passos caminhados, pode-se fazer \[\begin{equation} \sum_{i=1}^6 {x_i} = x_1 + x_2 + \dotsb + x_6 = 186+402+191+20+7+124 = 930 \tag{1.1} \end{equation}\]

186+402+191+20+7+124            # R e RStudio são calculadoras
## [1] 930
x <- c(186,402,191,20,7,124)    # Pode-se criar um vetor e atribuir a x
sum(x)                          # Usando a função 'sum', apresentada na Equação (1.1)
## [1] 930
sum(x^2)                        # Soma dos quadrados, representada pela Equação (1.2)
## [1] 248506

A letra grega \(\sum\) é o sigma maiúsculo, conforme Seção 1.10.1. Em muitos casos a simbologia de somatório é simplificada, utilizando-se \(\sum\), \(\sum_{x}\) ou \(\sum_{i}\). A seguir estão alguns exemplos mais avançados de uso mais sofisticado do somatório, podendo ser omitidos em uma primeira leitura. \[\begin{equation} \sum_{i=1}^n x_{i}^2 = x_{1}^2 + x_{2}^2 + \ldots + x_{n}^2 \tag{1.2} \end{equation}\]

Exercício 1.6 Considere o banco de dados disponível no pacote coronavirus10 conforme código a seguir.

library(coronavirus)    # chamando a biblioteca 'coronavirus'
data(coronavirus)       # deixando o banco de dados disponível
dim(coronavirus)        # dimensões do banco de dados (linhas x colunas)
## [1] 973836     15
head(coronavirus)       # mostrando as 6 primeira linhas do banco de dados
##         date province country     lat      long      type cases   uid iso2 iso3 code3    combined_key population continent_name continent_code
## 1 2020-01-22  Alberta  Canada 53.9333 -116.5765 confirmed     0 12401   CA  CAN   124 Alberta, Canada    4413146  North America             NA
## 2 2020-01-23  Alberta  Canada 53.9333 -116.5765 confirmed     0 12401   CA  CAN   124 Alberta, Canada    4413146  North America             NA
## 3 2020-01-24  Alberta  Canada 53.9333 -116.5765 confirmed     0 12401   CA  CAN   124 Alberta, Canada    4413146  North America             NA
## 4 2020-01-25  Alberta  Canada 53.9333 -116.5765 confirmed     0 12401   CA  CAN   124 Alberta, Canada    4413146  North America             NA
## 5 2020-01-26  Alberta  Canada 53.9333 -116.5765 confirmed     0 12401   CA  CAN   124 Alberta, Canada    4413146  North America             NA
## 6 2020-01-27  Alberta  Canada 53.9333 -116.5765 confirmed     0 12401   CA  CAN   124 Alberta, Canada    4413146  North America             NA
  1. Obtenha a soma de casos (cases) registrados ao longo de todo o período.
  2. Obtenha a soma ao quadrado de casos registrados ao longo de todo o período.
  3. Obtenha a soma de casos registrados ao longo de todo o período dividido por tipo (type).
  4. Considerando a variável \(X\): ‘número de casos registrados’ em nrow(coronavirus) linhas do banco de dados, represente os itens a. e b. utilizando a notação de somatório.
  5. Obtenha o número de dias entre o primeiro registro disponível em date e a presente data utilizando o pacote lubridate.

  1. Johns Hopkins University Center for Systems Science and Engineering (JHU CCSE). https://systems.jhu.edu/research/public-health/ncov↩︎