3.8 Variáveis Aleatórias Contínuas
3.8.1 Definição
Uma variável aleatória é contínua quando assume qualquer valor em um conjunto não enumerável.
Exemplo 3.31 (Variável aleatória contínua) Do Exemplo 2.9, \(\Omega = \lbrace t \in \mathbb{R} : 0 < t \le T \rbrace\). Suponha que esteja-se interessado em avaliar \(T\): ‘idade de adultos entre 18 e 35 anos’. Pode-se representar \(R_{T} = \lbrace t \in \mathbb{R}: 18 \le t \le 35 \rbrace\), sendo \(T\) uma variável aleatória contínua visto que \(|R_{T}| = + \infty\). \(\\\)
3.8.2 Distribuição de probabilidade contínua
Seja \(X\) uma variável aleatória contínua. Como não é possível listar todos os elementos de \(R_{X}\), a notação \(p(x)\) perde o sentido, visto que \(p(x)\) é zero para todo \(x\). Assim, para tratar do cálculo de probabilidades com variáveis aleatórias contínuas, será utilizado \(f(x)\) no lugar de \(p(x)\). Assim, para cada ponto de \(R_{X}\) associa-se uma função densidade de probabilidade (fdp) \(f(x)\), satisfazendo
\[\begin{equation} f(x) \ge 0, \forall \; x \tag{3.66} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \int_{x} f(x)\;dx = 1 \tag{3.67} \end{equation}\]
\[\begin{equation} Pr(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\;dx \tag{3.68} \end{equation}\]
A fda, (função de) distribuição (acumulada) \(F\) de uma v.a. contínua, é definida como
\[\begin{equation} F(x) = Pr(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \;dt \tag{3.69} \end{equation}\]
Note que \(f(x)=F'(x)\), \(Pr(X=x)=0\) e \(Pr(X \le x) = Pr(X < x)\).
Exemplo 3.32 (fda) Suponha a v.a. \(X\): ‘altura de pessoas da PUCRS’ com fdp \[ f(x) = -\frac{46875}{19652} (x^{2} - 3.36x + 2.36), \;\; x \in \left[ 1.00,2.36 \right]. \] Por (3.69), a função distribuição acumulada de \(X\) é
\[\begin{align*} F(x) =& Pr(X \leq x) \nonumber \\ =& -\frac{46875}{19652} \int_{1}^{x} (t^{2} - 3.36t + 2.36) \;dt \nonumber \\ =& -\frac{46875}{19652} \left[ \frac{t^{3}}{3} - \frac{3.36t^{2}}{2} + 2.36t \right] \bigg\rvert_{1}^{x} \nonumber \\ =& -\frac{46875}{19652} \left( \left[ \frac{x^{3}}{3} - 1.68x^{2} + 2.36x \right] - \left[ \frac{1^{3}}{3} - 1.68 \times 1^{2} + 2.36 \times 1 \right] \right) \nonumber \\ F(x) =& -\frac{46875}{19652} \left[ \frac{x^{3}}{3} - 1.68x^{2} + 2.36x - \frac{76}{75} \right] \nonumber \end{align*}\]
Exemplo 3.33 (Probabilidade com v.a. contínua) Suponha novamente a v.a. do Exemplo 3.32. Aplicando (3.68), \[ Pr(1.45 \leq X \leq 1.72) = -\frac{46875}{19652} \int_{1.45}^{1.72} (x^{2} - 3.36x + 2.36) \;dx = F(1.72) - F(1.45) \approx 0.2881. \]
Exercício 3.19 Que propriedade está sendo verificada no código abaixo? O que ela indica?
## 1 with absolute error < 1.1e-14Exercício 3.20 Escreva uma função em R que represente \(F(x)\) no Exemplo 3.32.
3.8.3 Valor esperado
O valor esperado de uma variável aleatória contínua \(X\) é dado por \[\begin{equation} E(X) = \int_{x} x \cdot f(x)\;dx \tag{3.70} \end{equation}\]
O valor esperado de uma função \(g(X)\) é dado por \[\begin{equation} E(g(X)) = \int_{x} g(x) \cdot f(x)\;dx \tag{3.71} \end{equation}\]
As propriedades se mantêm conforme Seção 3.6.4.1.
Exemplo 3.34 (Valor esperado de v.a. contínuas \(X\) e \(X^2\)) Do Exemplo 3.33 pode-se calcular \[ E(X) = -\frac{46875}{19652} \int_{1.00}^{2.36} x \; (x^{2} - 3.36x + 2.36) \;dx = 1.68. \] Este resultado é coerente dada a simetria da distribuição (parabólica). Note que \((1.00+2.36)/2 = 1.68\). A esperança de \(g(X) = X^2\) é dada por \[ E(X^2) = -\frac{46875}{19652} \int_{1.00}^{2.36} x^2 \; (x^{2} - 3.36x + 2.36) \;dx = 2.91488. \]
Exercício 3.21 Realize os cálculos indicados no Exemplo 3.34.
\(\\\)
3.8.4 Variância e desvio padrão
A variância de uma variável aleatória contínua \(X\) é dada tal como no caso discreto indicado pela Eq. (3.46). Da mesma forma o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, tal como indicado na Eq. (3.47). As propriedades se mantêm conforme Seção 3.6.4.1.
Exemplo 3.35 (Variância e desvio padrão de uma v.a. contínua) Do Exemplo 3.34 pode-se calcular \[ V(X) = 2.91488 - 1.68^2 = 0.09248 \] \[ D(X) = \sqrt{0.09248} \approx 0.30411 \]