3.1 Teoria dos Conjuntos

What is a set? By a set \(S\) we are to understand, according to Georg Cantor, “a collection into a whole, of definite, well-distinguished objects (called the ‘elements’ of \(S\)) of our perception or of our thought.”14 (Kamke 1950, 1)

Um conjunto é uma coleção de elementos, sem repetição e não ordenada. \(A\) é um subconjunto do conjunto \(B\) se os elementos de \(A\) são também elementos de \(B\); \(B\) é portanto um superconjunto de \(A\). (Iezzi and Murakami 1977, 19–A) apontam que formalmente não existe definição para conjunto, subconjunto, elemento e pertinência, pois estas são consideradas noções primitivas. Devido à variedade de notações possíveis, decidiu-se pela notação da ISO 8000-2:2009.

Seja \(A\) um conjunto e \(a\) um elemento de \(A\). \(a \in A\) simboliza que \(a\) é um elemento de \(A\). Se um elemento \(b\) não é um elemento de \(A\), anota-se \(b \notin A\). Um conjunto \(A\) é subconjunto do conjunto \(B\) se todos os elementos de \(A\) são também elementos de \(B\), simbolizado por \(A \subset B\) ou \(B \supset A\).

Exemplo 3.4 Considere os conjuntos \(T\), \(M\) e \(F\) definidos no Exemplo 3.5.

Conjunto-conjunto Elemento-conjunto
\(M \subset T\) \(a \in T\)
\(F \subset T\) \(a \in M\)
\(T \not\subset M\) \(a \notin F\)
\(T \not\subset F\) \(e \in T\)
\(F \not\subset M\) \(e \notin M\)
\(M \not\subset F\) \(e \in F\)

Definição 3.1 O cardinal de um conjunto indica seu número de elementos, denotado por \(|A|\).

Exemplo 3.5 (Conjunto, subconjunto, elemento e cardinal) Suponha o conjunto \(T\) formado pelos alunos que participam da seleção de truco da universidade. Pode-se anotar \[ T = \lbrace Aaron, Beatriz, Carlos, Denivaldo, Evelise \rbrace \equiv \lbrace a,b,c,d,e \rbrace. \] Cada aluno jogador da seleção de truco é elemento de \(T\). Pode-se dividir o conjunto \(T\) em dois subconjuntos, \[M = \lbrace a,c,d \rbrace \] e \[F= \lbrace b,e \rbrace. \] Os guris são elementos de \(M\), as gurias elementos de \(F\), \(|T|=5\), \(|M|=3\) e \(|F|=2\).

3.1.1 Conjunto Vazio

Conjunto vazio é um conjunto sem elementos, de cardinalidade zero e denotado por \(\lbrace \rbrace\) ou \(\emptyset\). Usualmente indica o resultado de uma operação de intersecção (Seção 3.1.2.2) onde não há elementos em comum entre os conjuntos considerados.

3.1.2 Operações

As operações em conjuntos são fundamentais na teoria das Probabilidades. Uma forma visual de representar operações entre conjuntos é usar o diagrama de Venn.

3.1.2.1 União \(\cup\)

A operação de união é representada pelo símbolo \(\cup\). Indica que o novo conjunto gerado deve considerar todos os elementos dos conjuntos envolvidos nesta operação. A união de uma coleção de conjuntos é anotada por \[\begin{equation} \cup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \tag{3.1} \end{equation}\]

Exemplo 3.6 (União) Se \(A=\{1,2,3,4,5\}\) e \(B=\{2,4,6,8\}\), \[A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8\}\]

A <- 1:5
B <- c(2,4,6,8)
base::union(A,B)
## [1] 1 2 3 4 5 6 8
base::union(B,A) # não ordenado, igual a union(A,B)
## [1] 2 4 6 8 1 3 5

3.1.2.2 Intersecção \(\cap\)

A operação intersecção é representada pelo símbolo \(\cap\). Indica que o novo conjunto gerado deve considerar apenas os elementos que sejam comuns aos conjuntos envolvidos nesta operação. A intersecção de uma coleção de conjuntos é anotada por \[\begin{equation} \cap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = A_1 A_2 \cdots A_n \tag{3.2} \end{equation}\]

Exemplo 3.7 (Intersecção) Suponha novamente os conjuntos \(A=\{1,2,3,4,5\}\) e \(B=\{2,4,6,8\}\). \[A \cap B = \{2,4\}\]

A <- 1:5
B <- c(2,4,6,8)
base::intersect(A,B)
## [1] 2 4

3.1.2.3 Complementar \(A^C\)

O complementar ou complemento absoluto do conjunto \(A\) indica que o novo conjunto gerado deve considerar os elementos que não pertencem a \(A\). Será representado por \(A^C=\Omega \backslash A\), onde \(\Omega\) representa o conjunto de todos os elementos considerados. Está associada à palavra ‘não’ e pode ser descrita formalmente \[\begin{equation} A^C = \{ x \in \Omega : x \notin A \} \tag{3.3} \end{equation}\]

3.1.2.4 Diferença \(B \backslash A\)

A diferença ou complemento relativo entre os conjuntos \(B\) e \(A\) é denotada por \(B \backslash A\) ou \(B-A\). Pode ser lida como ‘os elementos que estão em \(B\) mas não estão em \(A\)’.

Exemplo 3.8 (Diferença) Suponha novamente os conjuntos \(A=\{1,2,3,4,5\}\) e \(B=\{2,4,6,8\}\). \[A \backslash B = \{1,3,5\}\] \[B \backslash A = \{6,8\}\]

A <- 1:5
B <- c(2,4,6,8)
base::setdiff(A,B)
## [1] 1 3 5
base::setdiff(B,A)
## [1] 6 8
Propriedades

Sejam \(A\) e \(B\) dois conjuntos em um universo \(\Omega\).

\[\begin{equation} A \cup A^C = \Omega \tag{3.4} \end{equation}\]

\[\begin{equation} A \cap A^C = \emptyset \tag{3.5} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \emptyset^C = \Omega \tag{3.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \Omega^C = \emptyset \tag{3.7} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \text{Se} \;\; A \in B, \; \text{então} \;\; B^C \in A^C \tag{3.8} \end{equation}\]

\[\begin{equation} A \backslash B = A \cap B^C \tag{3.9} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (A \backslash B)^C = A^C \cup B \tag{3.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} A^C \backslash B^C = B \backslash A \tag{3.11} \end{equation}\]

Involução \[\begin{equation} (A^C)^C = A \tag{3.12} \end{equation}\]

Leis de De Morgan \[\begin{equation} (A \cup B)^C = A^C \cap B^C \tag{3.13} \end{equation}\]

\[\begin{equation} (A \cap B)^C = A^C \cup B^C \tag{3.14} \end{equation}\]

3.1.3 Conjunto Potência

Conjunto potência de um conjunto \(A\) é o conjunto contendo todos os subconjuntos de \(A\), anotado aqui por \(Po(A)\). Por definição o conjunto vazio \(\emptyset\) é subconjunto de \(Po(A)\). O cardinal do conjunto das partes é dado por \(|Po(A)| = 2^{|A|}\).

Exemplo 3.9 (Cardinal e conjunto potência) Seja o conjunto \(A = \left\lbrace -9, 0, 5 \right\rbrace\). Sabe-se que \[ |A| = 3,\] \[ |Po(A)| = 2^{3} = 8 \] e \[ Po(A) = \left\lbrace \emptyset, \left\lbrace -9 \right\rbrace, \left\lbrace 0 \right\rbrace, \left\lbrace 5 \right\rbrace, \left\lbrace -9, 0 \right\rbrace, \left\lbrace -9, 5 \right\rbrace, \left\lbrace 0, 5 \right\rbrace, \left\lbrace -9, 0, 5 \right\rbrace \right\rbrace. \]

A <- c(-9,0,5)
length(A)
## [1] 3
(ps <- rje::powerSet(A))
## [[1]]
## numeric(0)
## 
## [[2]]
## [1] -9
## 
## [[3]]
## [1] 0
## 
## [[4]]
## [1] -9  0
## 
## [[5]]
## [1] 5
## 
## [[6]]
## [1] -9  5
## 
## [[7]]
## [1] 0 5
## 
## [[8]]
## [1] -9  0  5
length(ps)
## [1] 8

3.1.4 Conjuntos Disjuntos e Partição

Conjuntos disjuntos são aqueles que não possuem elementos em comum. De forma equivalente, sua intersecção é o conjunto vazio. Uma partição é um agrupamento dos elementos de um conjunto em subconjuntos não vazios de forma que cada elemento esteja alocado em apenas um subconjunto.

Exemplo 3.10 (Conjunto disjunto e partição) Se as pessoas de uma população (\(\Omega\)) forem classificadas em sexo masculino (\(M\)) e feminino (\(F\)), anotado por \[\Omega = \{ M,F \} \] esta divisão forma uma possível partição desta população pois \[ M \cup F = \Omega \] \[ M \cap F = \emptyset. \]

References

Cantor, Georg. 1895. “Beiträge Zur Begründung Der Transfiniten Mengenlehre.” Mathematische Annalen 46 (4): 481–512. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF02124929.pdf.
Iezzi, G., and C. Murakami. 1977. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos, Funções. SP Editora Atual. https://barbosadejesu.files.wordpress.com/2021/09/fundamentos-da-matematica-elementar-1-.pdf.
Kamke, Erich. 1950. Theory of Sets. Courier Corporation.

  1. “Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung \(M\) von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten \(m\) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von \(M\) genannt werden) zu einem Ganzen.” (Cantor 1895, 481)↩︎