3.3 Definições

3.3.1 Experimento

As definições a seguir estão baseadas em (DeGroot and Schervish 2012, 5).

Definição 3.2 Experimento é qualquer processo, real ou hipotético, no qual os resultados possíveis podem ser identificados com antecedência. Um experimento é considerado determinístico se tiver apenas um resultado possível, e aleatório caso tenha duas ou mais possibilidades de resultado.

3.3.2 Espaço Amostral

Definição 3.3 O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, simbolizado por \(\Omega\).

Exemplo 3.16 (Espaço amostral finito 1) No caso do experimento aleatório ‘lançar um dado’, o espaço amostral é definido por \[ \Omega = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\rbrace. \]

Exemplo 3.17 (Espaço amostral finito 2) O experimento aleatório ‘lançar um dado duas vezes’ equivale a ‘lançar dois dados (com a mesma configuração)’. O espaço amostral é definido por \[ \Omega = \left\lbrace \begin{array}{cccccc} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \end{array} \right\rbrace \]

Exercício 3.4 Acesse o link https://tacticaltokens.com/dice-roller/.
a. Descreva o espaço amostral de cada um dos dados individualmente: d4, d6, d8, d10, d12, d20.
b. Descreva o espaço amostral considerando o lançamento de 2 dados de 4 faces (2d4).
c. Descreva o espaço amostral considerando o lançamento de 1 dado de 4 faces (d4) e 1 dado de 6 faces (d6).

Solução: Capítulo 8

Exemplo 3.18 (Espaço amostral infinito) No Exemplo 2.9, o espaço amostral é definido pelo conjunto não enumerável \(\Omega = \lbrace b \in \mathbb{R} : 0 \le b\le 1 \rbrace\).

3.3.3 Evento

Definição 3.4 Um evento é um subconjunto do espaço amostral.

Exemplo 3.19 (Evento finito) Do Exemplo 3.16 pode-se estar interessado apenas nos resultados pares do lançamento. Assim, o evento ‘face par’ pode ser descrito como \(E = \left\lbrace 2,4,6 \right\rbrace\). Note que \(E \subset \Omega\).

Definição 3.5 Os eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos ou disjuntos se \(A\) e \(B\) não podem ocorrer simultaneamente, i.e., \(A \cap B = \emptyset\).

Definição 3.6 Os eventos \(A_1,A_2,\ldots,A_k\) são coletivamente exaustivos se pelo menos um dos eventos deve ocorrer, i.e., \(\cup_{i=1}^{k} A_i=\Omega\).

Exemplo 3.20 Do Exemplo 3.16 podem-se considerar \(E = \left\lbrace 2,4,6 \right\rbrace\) (face par) e \(F = \left\lbrace 1,3,5 \right\rbrace\) (face ímpar). Estes eventos são mutuamente exclusivos pois \(E \cap F = \emptyset\) e coletivamente exaustivos pois \(E \cup F = \Omega\).

3.3.4 Probabilidade

Pode-se atribuir a probabilidade do evento \(A\) como

\[\begin{equation} P(A)=\frac{m}{n} \tag{3.20} \end{equation}\]

onde

\(m\) é o número de casos favoráveis para o evento \(A\)
\(n\) é o número total de casos

A probabilidade frequentista é o limite da Equação (3.20) quando \(n \rightarrow \infty\). Caso a probabilidade do evento \(A\) represente uma expectativa razoável (Cox 1946), a quantificação de uma crença pessoal (De Finetti 1970) ou um estado de conhecimento (Jaynes 1985), chamaremos probabilidade subjetiva.

Exemplo 3.21 (Probabilidade frequentista) Suponha que um dado seja lançado 150 vezes, e observa-se a distribuição dos lançamentos apresentada na tabela a seguir.

Face	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	Total
Frequência	\(18\)	\(24\)	\(34\)	\(26\)	\(27\)	\(21\)	\(150\)

Assim, o espaço amostral é \(\Omega = \left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\rbrace\) e podem-se calcular algumas probabilidades tais como \[ P(\text{Face 2}) = P(\left\lbrace 2 \right\rbrace) = \frac{24}{150} = 0.16 = 16\%\] \[ P(\text{Face par}) = P(\left\lbrace 2 \right\rbrace \cup \left\lbrace 4 \right\rbrace \cup \left\lbrace 6 \right\rbrace) = \frac{24+26+21}{150} = \frac{71}{150} \approx 0.4733 = 47.33\% \] \[ P(\text{Face ímpar}) = 1-P(\text{Face par})=1-\frac{71}{150}=\frac{79}{150} \approx 0.5267=52.67\% \] \[ P(\text{Face 2 e face 4 e face 6}) = P(\left\lbrace 2 \right\rbrace \cap \left\lbrace 4 \right\rbrace \cap \left\lbrace 6 \right\rbrace) = P(\emptyset) =0 \]

m <- c(18,24,34,26,27,21)
n <- sum(m)
(p2 <- m[2]/n)

## [1] 0.16

(ppar <- sum(m[c(2,4,6)])/n)

## [1] 0.4733333

(pimpar <- 1-ppar)

## [1] 0.5266667

MASS::fractions(ppar)

## [1] 71/150

MASS::fractions(pimpar)

## [1] 79/150

Exemplo 3.22 Em Python.

import numpy as np
from fractions import Fraction

m = np.array([18, 24, 34, 26, 27, 21])
n = np.sum(m)

# Calculando p2
p2 = m[1] / n  # Lembre-se que o índice começa em 0 em Python
print(p2)  # Output: 0.16

# Calculando ppar
ppar = np.sum(m[np.array([1, 3, 5])]) / n
print(ppar)  # Output: 0.4666666666666667

# Calculando pimpar
pimpar = 1 - ppar
print(pimpar)  # Output: 0.5333333333333333

# Convertendo para frações
print(Fraction(ppar).limit_denominator())  # Output: 7/15
print(Fraction(pimpar).limit_denominator())  # Output: 8/15

3.3.5 Axiomas de Kolmogorov

A teoria da probabilidade, como disciplina matemática, deve e pode ser desenvolvida a partir de axiomas exatamente no mesmo sentido que a Geometria ou a Álgebra ¹⁸. (Kolmogoroff 1933, 1)

Para maiores detalhes, recomenda-se (Kolmogorov 1956), (Feller 1968), (S. J. Press 2003) e (James 2010).

Axioma 1
\[\begin{equation} P(A) \ge 0, P(A) \in \rm I\!R \tag{3.21} \end{equation}\]
Axioma 2
\[\begin{equation} P(\Omega)=1 \tag{3.22} \end{equation}\]
Axioma 3 Se \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_k\) são conjuntos disjuntos, então \[\begin{equation} P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_k) \tag{3.23} \end{equation}\]

Exercício 3.5 No clássico O Homem que Calculava (Tahan 1938), o protagonista Beremiz Samir resolve um problema em que 35 camelos deveriam ser divididos entre três irmãos na seguinte proporção: o mais velho (\(A\)) ficaria com metade dos camelos, o irmão do meio (\(B\)) com 1/3 e o mais novo (\(C\)) com 1/9.
a. Beremiz Samir solucionou o problema colocando um camelo a mais na divisão, resultando em \(\frac{36}{2} = 18\) camelos para \(A\), \(\frac{36}{3} = 12\) para \(B\) e \(\frac{36}{9} = 4\) para \(C\), restando ainda dois camelos. Explique como isso ocorre. Dica: 35 %% 3.
b. Verifique que este problema viola o segundo axioma de Kolmogorov.

Solução: Capítulo 8

Exercício 3.6 A Lei 14.790 de 2023-12-29 “[d]ispõe sobre a modalidade lotérica denominada apostas de quota fixa”, conhecidas como bets.

Leia a matéria Regras para apostas: veja o que muda com a nova lei da Agência Senado em 05/01/2024, 19h51.
Leia a matéria Projeto de Lei que regulamenta as apostas esportivas on-line é aprovado na Câmara dos Deputados publicado em 22/12/2023 19h38 pelo Ministério do Esporte do Brasil.
Leia a Seção 4.8.3. *Inadmissibility and Long Run Evaluations de (Berger 1985, 257–61).
Comente a frase “probs maiores, odds menores”.
Comente a frase “custa 1 real apostar 95 centavos com a gente”.
Se neste mercado de 100 bilhões de reais anuais¹⁹ o Governo Federal fica com 12% do total arrecadado pelas empresas de apostas, qual o impacto monetário da afirmação do item e no montante recebido pelo Governo Federal? E nas empresas de apostas?
Comente o Art. 17., § II da Lei 14.790²⁰.

II - veiculem afirmações infundadas sobre as probabilidades de ganhar ou os possíveis ganhos que os apostadores podem esperar;

3.3.6 Propriedades

Dos axiomas de Kolmogorov resultam algumas propriedades, apresentadas sem demonstração:

P1 (Probabilidade do conjunto vazio) \[\begin{equation} P(\emptyset)=0 \tag{3.21} \end{equation}\]

P2 (Complementar) \[\begin{equation} P(A)=1-P(A^C) \tag{3.22} \end{equation}\]
P3 (Regra da adição) \[\begin{equation} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \tag{3.23} \end{equation}\]
P4 (Lei de De Morgan 1, Eq. (3.13))
\[\begin{equation} P(\left[ A \cup B \right]^C) = P(A^C \cap B^C) \tag{3.24} \end{equation}\]
P5 (Lei de De Morgan 2, Eq. (3.14))
\[\begin{equation} P(\left[ A \cap B \right]^C) = P(A^C \cup B^C) \tag{3.25} \end{equation}\]

Exercício 3.7 Demonstre as Eq. (3.21) a (3.25).

Solução: Capítulo 8
\(\\\)

Exemplo 3.23 Em um grupo de \(n\) pessoas, \(2 \le n \le 365\), a probabilidade do evento \(A\): ‘pelo menos duas pessoas aniversariarem no mesmo dia e mês’ pode ser calculada pela propriedade do complementar. Considerando um ano de 365 dias equiprováveis como indicado por (Feller 1968, 33) e sem a presença de gêmeos, trigêmeos, etc., a probabilidade do evento \(A^C\): ‘nenhuma pessoa aniversariar no mesmo dia e mês de outra’, é \[\begin{equation} P(A^C) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365-n+1}{365} \tag{3.26} \end{equation}\] Assim, \[\begin{equation} P(A) = 1 - \left( \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365-n+1}{365} \right) \tag{3.27} \end{equation}\]

aniv <- function(n){
  p <- 1
  for(i in 1:n){
    p <- p*(365-i+1)/365 
  }
  return(1-p)
}
aniv(23)

## [1] 0.5072972

prob <- sapply(1:100, aniv)
plot(1:100, prob, main = 'P(A)', xlab = '', las = 1)
points(c(23, 41, 57), c(aniv(23), aniv(41), aniv(57)), pch = 16, col = 'red')
legend(19, 0.55, '(23, 0.5073)', bty = 'n')
legend(35, 0.91, '(41, 0.9032)', bty = 'n')
legend(51, 0.99, '(57, 0.9901)', bty = 'n')

Exemplo 3.24 Em Python.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def aniv(n):
  """
  Calcula a probabilidade de pelo menos duas pessoas em um grupo de tamanho n
  fazerem aniversário no mesmo dia.

  Args:
    n: O tamanho do grupo.

  Returns:
    A probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia.
  """
  p = 1
  for i in range(1, n + 1):
    p = p * (365 - i + 1) / 365
  return 1 - p

# Calculando a probabilidade para n = 23
print(aniv(23))  # Output: 0.5072972343239854

# Calculando as probabilidades para n de 1 a 100
n_valores = np.arange(1, 101)
prob = np.array([aniv(n) for n in n_valores])

# Plotando o gráfico
plt.plot(n_valores, prob)
plt.xlabel('Número de pessoas')
plt.ylabel('Probabilidade')
plt.title('Probabilidade de Aniversário Compartilhado')

# Destacando pontos específicos
plt.scatter([23, 41, 57], [aniv(23), aniv(41), aniv(57)], color='red')

# Adicionando legendas
plt.text(23, aniv(23) + 0.05, '(23, 0.5073)', ha='center')
plt.text(41, aniv(41) + 0.05, '(41, 0.9032)', ha='center')
plt.text(57, aniv(57) + 0.05, '(57, 0.9901)', ha='center')

plt.show()

Exercício 3.8 Considere os dados do Exemplo 3.23.
a. Explique em palavras a Eq. (3.26).
b. Mostre que a Equação (3.26) pode ser escrita como \[\begin{equation} P(A^c) = \left( 1 - \frac{1}{365} \right) \left(1- \frac{2}{365} \right) \cdots \left( 1- \frac{n-1}{365} \right) \tag{3.28} \end{equation}\] c. Escreva a função aniv2 implementando a Eq. (3.28) e compare com aniv.
d. Assista ao vídeo https://www.youtube.com/watch?v=ofTb57aZHZs, gentilmente sugerido por Pedro Devincenzi Ferreira.
e. Para uma abordagem bayesiana veja (Diaconis and Holmes 2002). \(\\\)

Referências

Berger, James O. 1985. Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. 2nd ed. Springer Science & Business Media. https://www.springer.com/gp/book/9780387960982.

Cox, Richard T. 1946. “Probability, Frequency and Reasonable Expectation.” American Journal of Physics 14 (1): 1–13. http://www.cs.toronto.edu/~ilya/cox1946.pdf.

De Finetti, Bruno. 1970. “Logical Foundations and Measurement of Subjective Probability.” Acta Psychologica 34: 129–45.

DeGroot, Morris H, and Mark J Schervish. 2012. Probability and Statistics. Pearson Education.

Diaconis, Persi, and Susan Holmes. 2002. “A Bayesian peek into Feller volume I.” Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A, 820–41. https://www.jstor.org/stable/25051431.

Feller, William. 1968. An Introduction to Probability Theory and Its Applications Volume I, 3rd Ed. John Wiley & Sons, Inc. https://www.ime.usp.br/~fmachado/MAE5709/FellerV1.pdf.

James, B. R. 2010. “Probabilidade: Um Curso Em Nível Intermediário, Coleção Euclides.” Rio de Janeiro. IMPA, 3a. Edição. https://loja.sbm.org.br/index.php/colecoes/impa/colecao-projeto-euclides/probabilidade-um-curso-em-nivel-intermediario.html.

Jaynes, Edwin T. 1985. “Bayesian Methods: General Background.” Maximum Entropy and Bayesian Methods in Applied Statistics, 1–25. https://citeseerx.ist.psu.edu/doc/10.1.1.41.1055.

Kolmogoroff, Andrey. 1933. “Grundbegriffe Der Wahrscheinlichkeitsrechnung.” https://archive.org/details/kolmogoroff-1933-grundbegriffe-der-wahrscheinlichkeitsrechnung/mode/2up.

Kolmogorov, Andreı̆ Nikolaevich. 1956. Foundations of the Theory of Probability. Chelsea Publishing Company. https://archive.org/details/kolmogorov_202112/mode/2up.

Press, S James. 2003. Subjective and objective Bayesian statistics: Principles, models, and applications, 2nd. edition. John Wiley & Sons. http://primo-pmtna01.hosted.exlibrisgroup.com/PUC01:PUC01:oclc(OCoLC)587388980.

Tahan, Malba. 1938. O Homem Que Calculava. 1st ed. Record, Rio de Janeiro - RJ.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematische Disziplin soll und kann genau in demselben Sinne axiomatisiert werden wie die Geometrie oder die Algebra.↩︎
https://conteudos.xpi.com.br/acoes/relatorios/varejo-xp-como-o-mercado-de-apostas-impacta-o-consumo/↩︎
Art. 17. Sem prejuízo do disposto na regulamentação do Ministério da Fazenda, é vedado ao agente operador de apostas de quota fixa veicular publicidade ou propaganda comercial que: (…)↩︎