4.6 Cálculo do tamanho da amostra
O cálculo do tamanho de amostra é baseado em uma série de premissas assumidas pelo pesquisador. Os valores sugeridos pelos diversos métodos de cálculo de tamanho de amostra devem ser considerados apenas como uma referência, dada a arbitrariedade das medidas utilizadas em sua obtenção. Tempo e custo são dois limitantes que devem ser levados em conta, podendo se sobrepor aos cálculos de tamanho de amostra.
A seguir serão apresentados casos bastante simples, mas suficientes para ilustrar os princípios utilizados. Para mais funcionalidades recomenda-se o pacote pwr (Champely 2020) do R e o software G*Power (A.-G. L. Franz Faul Edgard Erdfelder and Buchner 2007), (A. B. Franz Faul Edgard Erdfelder and Lang 2009). Para uma abordagem mais teórica recomenda-se (Chow, Wang, and Shao 2007).
4.6.1 Média
Uma forma de estimar o tamanho da amostra no caso da inferência para a media universal \(\mu\) é considerar a margem de erro da Equação (6.10) e isolar \(n\) na forma \[\begin{equation} n = \left \lceil{ \left( \frac{z \sigma}{\varepsilon} \right)^2 }\right \rceil. \tag{4.4} \end{equation}\]
O operador \(\left \lceil{ x }\right \rceil\) indica a função teto de \(x\), i.e., indica o primeiro inteiro acima de \(x\).
Exercício 4.14 Obtenha o resultado da Equação (4.4) a partir da margem de erro da Equação (6.10). \(\\\)
Exemplo 4.29 (Tamanho da amostra para a média) Deseja-se obter o tamanho de amostra para estimar a média de altura dos alunos da PUCRS. Considera-se um intervalo de confiança de \(1-\alpha = 95\%\), com margem de erro de \(\varepsilon = 3\) cm. De estudos anteriores, admite-se \(\sigma = 15\) cm. Considerando a Equação (4.4), sabe-se da tabela da distribuição normal padrão que \(z = 1.96\), assim \[n = \left \lceil{ \left( \frac{1.96 \times 15}{3} \right)^2 }\right \rceil = \left \lceil{ 96.04 }\right \rceil = 97.\]
n_m <- function(z,sigma,e) {
exact <- (z*sigma/e)^2
ceil <- ceiling(exact)
return(list(exact=exact,
ceiling=ceil))
}
n_m(1.96,15,3)## $exact
## [1] 96.04
##
## $ceiling
## [1] 974.6.2 Proporção
Uma forma de estimar o tamanho da amostra no caso da inferência para a proporção universal \(\pi\) é considerar a margem de erro da Equação (6.8) e isolar \(n\) na forma \[\begin{equation} n = \left \lceil{ \frac{z^2 p (1-p)}{\varepsilon^2} }\right \rceil. \tag{4.5} \end{equation}\]
Em certos casos existe informação disponível sobre a proporção, mas quando não há qualquer conhecimento a respeito desta medida considera-se \(p=\frac{1}{2}\), ponto no qual \(p(1-p)\) atinge seu máximo.
Exercício 4.15 Obtenha o resultado da Equação (4.5) a partir da margem de erro da Equação (6.8). \(\\\)
Exercício 4.16 Verifique que \(p(1-p)\) atinge seu máximo quando \(p=\frac{1}{2}\). \(\\\)
Exemplo 4.30 (Tamanho da amostra para a proporção) Em uma pesquisa eleitoral deseja-se calcular o tamanho de amostra aproximado para que a margem de erro seja de \(\varepsilon = 2\%\) com confiança de \(1-\alpha = 95\%\). Considerando a Equação (4.5), sabe-se da tabela da distribuição normal padrão que \(z = 1.96 \approx 2\), e que \(p(1-p)\) atinge seu máximo quando \(p=\frac{1}{2}\). Assim, \[\begin{equation} n \approx \left \lceil{ \frac{2^2 \times \frac{1}{2} \times (1-\frac{1}{2})}{\varepsilon^2} }\right \rceil = \left \lceil{ \frac{1}{\varepsilon^2} }\right \rceil \tag{4.6} \end{equation}\]
Logo, um IC para a proporção com \(\alpha = 5\%\) para uma margem de erro de \(\varepsilon = 2\%\) pode ser calculado com um tamanho de amostra de aproximadamente \[ n \approx \left \lceil{ \frac{1}{0.02^2} }\right \rceil = 2500. \]
n_p <- function(e) {
exact <- 1/e^2
ceil <- ceiling(exact)
return(list(exact=exact,
ceiling=ceil))
}
n_p(0.02)## $exact
## [1] 2500
##
## $ceiling
## [1] 2500Exercício 4.17 Teste a função n_p do Exemplo 4.30 com diferentes valores de margem de erro. Faça um gráfico para analisar a variação do tamanho da amostra à medida que \(\varepsilon\) aumenta. \(\\\)