4.2 Universo ou População \(\mathcal{U}\)
Definição 4.4 Universo ou população é o conjunto de todas as unidades elementares de interesse. \(\\\)
Usualmente o universo possui tamanho \(N\) elevado, até mesmo infinito, mas em alguns casos pode ser relativamente pequeno. É denotado formalmente por \[\mathcal{U} = \lbrace 1,2, \ldots, N \rbrace.\]
Exemplo 4.3 (Pesquisa eleitoral III) Em 2018 o universo de eleitores do município de Porto Alegre compreendia 1,100,163 eleitores21, i.e., \(N=1\,100\,163\). Formalmente \[\mathcal{U} = \lbrace 1, 2, \ldots, 1\,100\,163 \rbrace.\]
Definição 4.5 Elemento universal, elemento populacional ou unidade elementar denota um elemento \(i \in \mathcal{U}\).
Definição 4.6 Característica(s) de interesse denota(m) a variável ou o conjunto de \(k\) variáveis associada(o) a cada elemento do universo, anotado por \(\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N) = \left( \begin{bmatrix} x_{11} \\ x_{12} \\ \vdots \\ x_{1k} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x_{21} \\ x_{22} \\ \vdots \\ x_{2k} \end{bmatrix}, \cdots , \begin{bmatrix} x_{N1} \\ x_{N2} \\ \vdots \\ x_{Nk} \end{bmatrix} \right) = \left( \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{21} & \cdots & x_{N1} \\ x_{12} & x_{22} & \cdots & x_{N2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1k} & x_{2k} & \cdots & x_{Nk} \end{array} \right).\) \(\\\)
Exemplo 4.4 Considere que no universo \(\mathcal{U} = \lbrace 1,2,3 \rbrace\) de tamanho \(N=3\) o sujeito 1 seja do sexo feminino com 24 anos de idade e 1.66m de altura, o sujeito 2 do sexo masculino com idade de 32 anos e 1.81m de altura, e o sujeito 3 do sexo masculino com 49 anos com altura de 1.73m. Assim, \[\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3) = \left( \begin{bmatrix} 24 \\ 1.66 \\ F \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 32 \\ 1.81 \\ M \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 49 \\ 1.73 \\ M \end{bmatrix} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 24 & 32 & 49 \\ 1.66 & 1.81 & 1.73 \\ F & M & M \end{array} \right).\]
4.2.1 Parâmetro
Definição 4.7 Parâmetro denota uma função ou medida que depende de todas as características de interesse. \(\\\)
Exemplo 4.5 O parâmetro total universal é dado pela Eq. (2.11). \(\\\)
Exemplo 4.6 O parâmetro média universal é dado pela Eq. (2.13). \(\\\)
Exemplo 4.7 Uma variável é chamada dicotômica quando assume apenas dois possíveis valores tais como sim/não, verdadeiro/falso, ligado/desligado, etc. A característica de interesse é chamada sucesso e a outra característica de fracasso. Por conveniência associa-se o sucesso ao valor \(x=1\) e fracasso a \(x=0\). Desta forma simboliza-se \(\sum_{i=1}^N x_i\) como o total de sucessos observados no universo. Nesta situação o parâmetro proporção é dado por \[\begin{equation} \pi = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i. \tag{4.1} \end{equation}\]
Exercício 4.1 Considere proporção e média universais, respectivamente dadas pelas Eq. (4.1) e (2.13).
(a) O que difere estas duas quantidades?
(b) A proporção pode ser considereda uma média? Por quê? \(\\\)
Exemplo 4.9 O parâmetro desvio padrão é a raiz quadrada da variância universal, dado pela Equação (2.34). \(\\\)
Exemplo 4.10 O parâmetro covariância é dado por \[\begin{equation} \sigma_{XY} = Cov[X,Y] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu_X)(y_i - \mu_Y). \tag{4.2} \end{equation}\]
Exemplo 4.11 O parâmetro correlaçao é dado por \[\begin{equation} \rho_{XY} = Cor[X,Y] = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}. \tag{4.3} \end{equation}\]