5.3 Função de Verossimilhança
The likelihood that any parameter (or set of parameters) should have any assigned value (or set of values) is proportional to the probability that if this were so, the totality of observations should be that observed. (Ronald A. Fisher 1922, 310)
Definição 5.3 (Função de Verosssimilhança) A funcão \(L(\theta|x)\), considerada como função de \(\theta\) para os dados observados \(x\), é chamada função de verossimilhança. Matematicamente \(\\\)
\[\begin{equation} L(\theta | x) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i | \theta) \tag{5.1} \end{equation}\]
Exemplo 5.4 Seja \(X_1,\ldots,X_n\) uma sequência de variáveis aleatórias (condicionalmente) iid \(\mathcal{Ber}(\theta) \equiv \mathcal{B}(1,\theta)\). A função de verossimilhança é dada por \[\begin{equation} L(\theta|x) = \prod_{i=1}^{n} {1 \choose x_i} \theta^{x_i} (1-\theta)^{1-x_i} = \theta^{\sum_{i=1}^n x_i} (1-\theta)^{n - \sum_{i=1}^n x_i} \tag{5.2} \end{equation}\]
De acordo com (Berger 1985, 27), a intuição por trás do nome ‘função de verossimilhança’ (‘likelihood function’) é que mais verossímil (likely) é o \(\theta\) quanto maior for \(f(x|\theta)\).
Exercício 5.4 Assista ao vídeo Probability is not Likelihood. Find out why!!! do canal StatQuest with Josh Starmer.