2.5 Outras medidas
2.5.1 Assimetria (ou Obliquidade)
Assimetria ou obliquidade é uma medida que avalia a assimetria de uma distribuição de frequência. Existem diversas definições na literatura, das quais apresentam-se três alternativas. \[\begin{equation} g_1 = \dfrac{m_3}{m_2^{3/2}} = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^3}{\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{3/2}} \tag{2.40} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_1 = g_{1} \left( \dfrac{n-1}{n} \right)^{3/2} = \dfrac{m_3}{s^3} = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^3 }{\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{3/2}} \tag{2.41} \end{equation}\]
\[\begin{eqnarray} G_1 = g_{1} \sqrt{\dfrac{n(n-1)}{n-2}} = b_{1} \dfrac{n^2}{(n-1)(n-2)} \tag{2.42} \end{eqnarray}\]
set.seed(1); x <- rnorm(100) # Gerando 100 valores N(0,1) com semente fixa
e1071::skewness(x, type = 1) # Definição clássica de assimetria, Equação (2.25)## [1] -0.0722319## [1] -0.07333656## [1] -0.071151132.5.2 Curtose
A curtose é uma medida de achatamento de uma distribuição de frequência. Assim como na assimetria, das diversas definições de curtose apresentam-se três alternativas. \[\begin{eqnarray} g_2 = \dfrac{m_4}{m_2^{2}} - 3 = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^4}{\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{2}} - 3 \tag{2.43} \end{eqnarray}\]
\[\begin{eqnarray} b_2 = (g_2 + 3) \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)^{2} - 3 = \dfrac{m_4}{s^4} - 3 = \dfrac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^4 }{\left[ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x}_n)^2 \right]^{2}} - 3 \tag{2.44} \end{eqnarray}\]
\[\begin{eqnarray} G_2 = \dfrac{ \left[ (n+1) g_2 + 6 \right] (n-1)}{(n-2)(n-3)} \tag{2.45} \end{eqnarray}\]
set.seed(1); x <- rnorm(100) # Gerando 100 valores N(0,1) com semente fixa
e1071::kurtosis(x, type = 1) # Definição clássica de curtose, Equação (2.28)## [1] 0.007653206## [1] 0.07053697## [1] -0.05219909