3.4 Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional é a probabilidade do evento \(A\) após observada a ocorrência de um evento \(B\). A probabilidade de \(A\) dado \(B\) é
\[\begin{equation} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \; \; P(B) \ne 0 \tag{3.29} \end{equation}\]
Analogamente \[\begin{equation} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \; \; P(A) \ne 0 \tag{3.30} \end{equation}\]
Exemplo 3.25 (Probabilidade condicional) Um dado equilibrado é lançado, e deseja-se observar o evento \(A\): ‘face 2’. A pessoa que lançou o dado também dá uma informação \(B\): ‘a face é par’. Assim, \[ A = A \cap B = \{2\} \] \[ B = \{2,4,6\} \] \[ P(B) = \frac{1}{2} \] \[ P(A \cap B) = \frac{1}{6} \] \[ P(A|B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3} \] \[ P(A^{c}|B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
As Equações (3.29) e (3.30) resultam na regra do produto, ou a probabilidade do evento intersecção:
\[\begin{equation} P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B) \tag{3.31} \end{equation}\]
Três eventos \[\begin{equation} P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B) \tag{3.32} \end{equation}\]
Forma geral (Pfeiffer and Schum 1973, 90) \[\begin{equation} P(\cap_{i=1}^k A_i) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdots P(A_k|A_1 \cap \cdots \cap A_{k-1}) \tag{3.33} \end{equation}\]
Exercício 3.9 Refaça o Exemplo 3.25 considerando a informação \(C\): ‘a face é ímpar’. Calcule:
- \(P(C)\)
- \(P(A \cap C)\)
- \(P(A \mid C)\)
- \(P(A^c \mid C)\)
\(\\\)
3.4.1 Independência
Quando ocorre \[\begin{equation} P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) \tag{3.34} \end{equation}\] é dito que \(A\) e \(B\) são independentes, simbolizado por \(A \perp\!\!\!\perp B\). Isto indica que a observação de \(B\) não altera a probabilidade a respeito de \(A\).
As propriedades de probabilidade continuam valendo, permitindo que façamos, por exemplo, \[\begin{equation} P(A|B) = 1 - P(A^{c}|B) \tag{3.35} \end{equation}\]
3.4.2 Independência condicional
Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) eventos de \(\Omega\). \(A\) e \(B\) são condicionalmente independentes dado \(C\) (\(A \perp\!\!\!\perp B|C\)) se e somente se
\[\begin{equation} P(A|B,C) = P(A|C) \tag{3.36} \end{equation}\]
Para mais detalhes veja (Studený 2005) e (Basu and Pereira 2011). Para um momentinho cultural veja Paulo César Garcez Marins | Provoca | 06/06/2023.
