3.4 Probabilidade Condicional

Probabilidade condicional é a probabilidade do evento \(A\) após observada a ocorrência de um evento \(B\). A probabilidade de \(A\) dado \(B\) é

\[\begin{equation} Pr(A|B) = \frac{Pr(A \cap B)}{Pr(B)}, \; \; Pr(B) \ne 0 \tag{3.32} \end{equation}\]

Analogamente \[\begin{equation} Pr(B|A) = \frac{Pr(A \cap B)}{Pr(A)}, \; \; Pr(A) \ne 0 \tag{3.33} \end{equation}\]

Exemplo 3.19 (Probabilidade condicional) Um dado equilibrado é lançado, e deseja-se observar o evento \(A\): ‘face 2’. A pessoa que lançou o dado também dá uma informação \(B\): ‘a face é par’. Assim, \[ Pr(B) = \frac{1}{2}, \] \[ Pr(A \cap B) = \frac{1}{6}, \] \[ Pr(A|B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}, \] \[ Pr(A^{c}|B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \]

As Equações (3.32) e (3.33) resultam na regra do produto, ou a probabilidade do evento intersecção:

\[\begin{equation} Pr(A \cap B) = Pr(A) \cdot Pr(B|A) = Pr(B) \cdot Pr(A|B) \tag{3.34} \end{equation}\]

Três eventos \[\begin{equation} Pr(A \cap B \cap C) = Pr(A) \cdot Pr(B|A) \cdot Pr(C|A \cap B) \tag{3.35} \end{equation}\]

Forma geral (Pfeiffer and Schum 1973, 90) \[\begin{equation} Pr(\cap_{i=1}^k A_i) = Pr(A_1) \cdot Pr(A_2|A_1) \cdot Pr(A_3|A_1 \cap A_2) \cdots Pr(A_k|A_1 \cap \cdots \cap A_{k-1}) \tag{3.36} \end{equation}\]

Exercício 3.10 Refaça o Exemplo 3.19 considerando a informação \(C\): ‘a face é ímpar’. Calcule:

  1. \(Pr(C)\)
  2. \(Pr(A \cap C)\)
  3. \(Pr(A \mid C)\)
  4. \(Pr(A^c \mid C)\)

\(\\\)

3.4.1 Independência

Quando ocorre \[\begin{equation} Pr(A|B) = \frac{Pr(A) \cdot Pr(B)}{Pr(B)} = Pr(A) \tag{3.37} \end{equation}\] é dito que \(A\) e \(B\) são independentes, simbolizado por \(A \perp\!\!\!\perp B\). Isto indica que a observação de \(B\) não altera a probabilidade a respeito de \(A\).

As propriedades de probabilidade continuam valendo, permitindo que façamos, por exemplo, \[\begin{equation} Pr(A|B) = 1 - Pr(A^{c}|B) \tag{3.38} \end{equation}\]

3.4.2 Independência condicional

Independência Condicional ou Morte! baseada em Independência ou Morte! de Pedro Américo (1888)
Independência Condicional ou Morte! baseada em Independência ou Morte! de Pedro Américo (1888)

\(\\\)

Sejam \(A\), \(B\) e \(C\) eventos de \(\Omega\). \(A\) e \(B\) são condicionalmente independentes dado \(C\) se e somente se

\[\begin{equation} Pr(A|B,C) = Pr(A|C) \tag{3.39} \end{equation}\]

Para mais detalhes veja (Basu and Pereira 2011) e (Studený 2005). Para um momentinho cultural veja Paulo César Garcez Marins | Provoca | 06/06/2023.

Referências

Basu, D, and Carlos AB Pereira. 2011. “Conditional Independence in Statistics.” Selected Works of Debabrata Basu, 371–84.
Pfeiffer, Paul E, and David A Schum. 1973. Introduction to Applied Probability. Elsevier.
Studený, Milan. 2005. Probabilistic Conditional Independence Structures. Springer Science & Business Media.