7.2 Dirichlet conjugada da multinomial
Se \[X_1,\ldots,X_k|\theta_1,\ldots,\theta_k \sim \mathcal{M}(n,\theta_1,\ldots,\theta_k)\] conforme Seção 5.5.2 e admite-se uma priori \[\theta_1,\ldots,\theta_k \sim Dir(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)\] conforme Seção 5.6.2, então a posteriori é dada por \[\theta_1,\ldots,\theta_k|x_1,\ldots,x_k \sim Dir(\alpha_1+x_1,\ldots,\alpha_k+x_k)\] onde \(x_i\) é o número de casos observados da categoria \(i\) na amostra, \(i \in \{1,\ldots,k\}\), e \(n = \sum_{i=1}^k x_i\).
Exemplo 7.1 Em uma cidade há três times de futebol, \(T_1\), \(T_2\) e \(T_3\). As proporções de torcedores \(\theta_1\), \(\theta_2\) e \(\theta_3\) são desconhecidas, e deseja-se estimá-las pelo método bayesiano. Assim, observa-se uma amostra multinomial de \(n=1000\) moradores da cidade, dos quais \(x_1=130\), \(x_2=492\) e \(x_3=378\). Se for admitida a priori \[\theta_1,\theta_2,\theta_3 \sim Dir(1,1,1)\] a posteriori é dada por \[\theta_1,\theta_2,\theta_3|130,492,378 \sim Dir(1+130,1+492,1+378)\] Sua forma fucional é dada conforme Eq. (5.9), podendo ser expressa por \[\pi(\theta_1,\theta_2,\theta_k|131,493,379) = \frac{\Gamma(1003)}{\Gamma(131)\Gamma(493)\Gamma(379)} \theta_1^{130} \theta_2^{492} \theta_3^{378}\]
# Opção 1
library(gtools)
library(DirichletReg)
dat <- rdirichlet(10000, alpha = c(131,493,379))
plot(DR_data(dat),
a2d = list(colored = TRUE,
c.grid = FALSE,
col.scheme = c("entropy")))
# Opção 2
library(dirichlet)
library(dplyr)
library(ggplot2)
theme_set(theme_bw())
f <- function(v) ddirichlet(v, c(131,493,379))
mesh <- simplex_mesh(.0025) %>% as.data.frame %>% as_tibble
mesh$f <- mesh %>% apply(1, function(v) f(bary2simp(v)))
(p <- ggplot(mesh, aes(x, y)) +
geom_raster(aes(fill = f)) +
coord_equal(xlim = c(0,1), ylim = c(0, .85)))
library(desempateTecnico)
simplex3d(pa=.4, pb=.3, pc=.3, n=1000, alpha = 0.05)
bayes(c(.4,.3,.3), 1000)## cenario posteriori
## [1,] "A" "0"
## [2,] "B" "0"
## [3,] "C" "0"
## [4,] "AB" "0.5004"
## [5,] "AC" "0.4996"
## [6,] "BC" "0"## cenario posteriori
## [1,] "A" "0"
## [2,] "B" "0"
## [3,] "C" "0"
## [4,] "AB" "0.9899"
## [5,] "AC" "0.0101"
## [6,] "BC" "0"
Onde pode ser usado: Latent Dirichlet Allocation (LDA).
(Blei, Ng, and Jordan 2003)
https://www.tidytextmining.com/topicmodeling.html
https://bookdown.org/Maxine/tidy-text-mining/latent-dirichlet-allocation.html
https://towardsdatascience.com/beginners-guide-to-lda-topic-modelling-with-r-e57a5a8e7a25