## 3.1 Objetos

### 3.1.1 Escalar

$$x = \boldsymbol{x}_{1 \times 1} = x_i$$

### 3.1.2 Vetor coluna

$$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_{n \times 1} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$$

### 3.1.3 Vetor linha

$$\boldsymbol{x}' = \boldsymbol{x}_{1 \times n} = \big[ x_1, x_2, \ldots, x_n \big] = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}$$

### 3.1.4 Matriz

$$X = X_{n \times p} = \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,p} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,p} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,p} \end{bmatrix}$$

A matriz é quadrada quando $$n=p$$.

### 3.1.5 Matriz identidade (de ordem $$n$$)

$$I_{n} = I_{n \times n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$
diag(4)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    1    0    0
## [3,]    0    0    1    0
## [4,]    0    0    0    1
dim(diag(4))
## [1] 4 4

### 3.1.6 Matriz diagonal

Valores fora da diagonal principal iguais a zero.

$$\begin{bmatrix} x_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_{2,2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_{n,n} \end{bmatrix} \equiv \boldsymbol{x}' I_n$$
1:4 * diag(4)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    2    0    0
## [3,]    0    0    3    0
## [4,]    0    0    0    4
diag(1:4)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    2    0    0
## [3,]    0    0    3    0
## [4,]    0    0    0    4

### 3.1.7 Matrizes triangulares

A matriz triangular inferior possui valores acima da diagonal principal iguais a zero.

$$\begin{bmatrix} x_{1,1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ x_{2,1} & x_{2,2} & 0 & \cdots & 0 \\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ x_{n,1} & x_{n,2} & x_{n,3} & \cdots & x_{n,n} \end{bmatrix}$$

A matriz triangular superior possui valores abaixo da diagonal principal iguais a zero.

$$\begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & \cdots & x_{1,n} \\ 0 & x_{2,2} & x_{2,3} & \cdots & x_{2,n} \\ 0 & 0 & x_{3,3} & \cdots & x_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n,n} \end{bmatrix}$$

Exercício 3.2 Veja a documentação das funções lower.tri e upper.tri. Como pode-se obter apenas os elementos da parte triangular inferior e superior de uma matriz? Dê um exemplo.

### 3.1.8 Matriz simétrica

Ocorre em uma matriz quadrada quando $$x_{ij}=x_{ji}$$

# matriz diagonal
(X <- diag(4:1))
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    4    0    0    0
## [2,]    0    3    0    0
## [3,]    0    0    2    0
## [4,]    0    0    0    1
isSymmetric(X)
## [1] TRUE
# adicionando elemntos não nulos em posições simétricas
X[2,1] <- X[1,2] <- -3
X[4,2] <- X[2,4] <- 7
X
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    4   -3    0    0
## [2,]   -3    3    0    7
## [3,]    0    0    2    0
## [4,]    0    7    0    1
isSymmetric(X)
## [1] TRUE

### 3.1.9Matriz definida

Seja $$M$$ uma matriz real simétrica $$n \times n$$.

• $$M$$ é positiva-definida se $$x^TMx > 0$$ para todo $$x$$ real não nulo. $$M$$ é positiva-definida se e somente se seus autovalores são positivos.
• $$M$$ é positiva-semidefinida se $$x^TMx \ge 0$$ para todo $$x$$ real. $$M$$ é positiva-semidefinida se e somente se seus autovalores são não negativos.
• $$M$$ é negativa-definida se $$x^TMx < 0$$ para todo $$x$$ real não nulo.$$M$$ é negativa-definida se e somente se seus autovalores são negativos.
• $$M$$ é negativa-semidefinida se $$x^TMx \le 0$$ para todo $$x$$ real. $$M$$ é negativa-semidefinida se e somente se seus autovalores são não positivos.
• $$M$$ que não é semidefinida positiva nem semidefinida negativa é chamada indefinida.

Exemplo 3.1 Para gerar uma matriz $$A$$ positiva-semidefinida de ordem $$n$$, basta (1) gerar uma matriz quadrada $$A$$ de ordem $$n$$ e (2) multiplicar $$A$$ por sua transposta. Assim, $$M = A^T A$$ é positiva-semidefinida.

set.seed(1); A <- matrix(rnorm(9), nrow = 3)
M <- t(A) %*% A
matrixcalc::is.positive.definite(M)
## [1] TRUE

### 3.1.10 Matriz diagonalizável

Uma matriz quadrada $$A$$ é diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal. Formalmente, existe uma matriz inversível $$P$$ e uma matriz diagonal $$D$$ tal que $$P^{−1}AP=D$$, ou de forma equivalente, $$A=PDP^{-1}$$.
Para avaliar se uma matriz é diagonalizável pode-se obter os autovetores multiplicados pela diagonal dos autovalores vezes o inverso da matriz original. Isso deve nos devolver a matriz original, conforme sugestão de JD Long nesta discussão do StackOverflow. .

(A <- matrix(1:16, nrow = 4))
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    5    9   13
## [2,]    2    6   10   14
## [3,]    3    7   11   15
## [4,]    4    8   12   16
(P <- eigen(A)$vectors) ## [,1] [,2] [,3] [,4] ## [1,] -0.4140028 -0.82289268 -0.1409607 0.3855401 ## [2,] -0.4688206 -0.42193991 0.5824445 -0.2240737 ## [3,] -0.5236384 -0.02098714 -0.7420069 -0.7084728 ## [4,] -0.5784562 0.37996563 0.3005231 0.5470065 (D <- diag(eigen(A)$values))
##          [,1]      [,2]        [,3]          [,4]
## [1,] 36.20937  0.000000 0.00000e+00  0.000000e+00
## [2,]  0.00000 -2.209373 0.00000e+00  0.000000e+00
## [3,]  0.00000  0.000000 9.20347e-16  0.000000e+00
## [4,]  0.00000  0.000000 0.00000e+00 -5.791298e-16
all.equal(P %*% D %*% solve(P), A)
## [1] TRUE