3.1 Objetos

3.1.1 Escalar

\(x = \boldsymbol{x}_{1 \times 1} = x_i\)

3.1.2 Vetor coluna

\(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_{n \times 1} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\)

3.1.3 Vetor linha

\(\boldsymbol{x}' = \boldsymbol{x}_{1 \times n} = \big[ x_1, x_2, \ldots, x_n \big] = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}\)

Exercício 3.1 Assista ao vídeo Vetores, o que são eles afinal? | A essência da álgebra linear, capítulo 1 do canal 3Blue1Brown. Agradeço ao Vitor Luiz Cavagnolli Machado pela sugestão.

3.1.4 Matriz

\(X = X_{n \times p} = \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,p} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,p} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,p} \end{bmatrix}\)

A matriz é quadrada quando \(n=p\).

3.1.5 Matriz identidade (de ordem \(n\))

\(I_{n} = I_{n \times n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\)

diag(4)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    1    0    0
## [3,]    0    0    1    0
## [4,]    0    0    0    1

dim(diag(4))

## [1] 4 4

3.1.6 Matriz diagonal

Valores fora da diagonal principal iguais a zero.

\(\begin{bmatrix} x_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_{2,2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_{n,n} \end{bmatrix} \equiv \boldsymbol{x}' I_n\)

1:4 * diag(4)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    2    0    0
## [3,]    0    0    3    0
## [4,]    0    0    0    4

diag(1:4)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0    0    0
## [2,]    0    2    0    0
## [3,]    0    0    3    0
## [4,]    0    0    0    4

3.1.7 Matrizes triangulares

A matriz triangular inferior possui valores acima da diagonal principal iguais a zero.

\(\begin{bmatrix} x_{1,1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ x_{2,1} & x_{2,2} & 0 & \cdots & 0 \\ x_{3,1} & x_{3,2} & x_{3,3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ x_{n,1} & x_{n,2} & x_{n,3} & \cdots & x_{n,n} \end{bmatrix}\)

A matriz triangular superior possui valores abaixo da diagonal principal iguais a zero.

\(\begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & \cdots & x_{1,n} \\ 0 & x_{2,2} & x_{2,3} & \cdots & x_{2,n} \\ 0 & 0 & x_{3,3} & \cdots & x_{3,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n,n} \end{bmatrix}\)

Exercício 3.2 Veja a documentação das funções lower.tri e upper.tri. Como pode-se obter apenas os elementos da parte triangular inferior e superior de uma matriz? Dê um exemplo.

3.1.8 Matriz simétrica

Ocorre em uma matriz quadrada quando \(x_{ij}=x_{ji}\)

# matriz diagonal
(X <- diag(4:1))

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    4    0    0    0
## [2,]    0    3    0    0
## [3,]    0    0    2    0
## [4,]    0    0    0    1

isSymmetric(X)

## [1] TRUE

# adicionando elemntos não nulos em posições simétricas
X[2,1] <- X[1,2] <- -3
X[4,2] <- X[2,4] <- 7
X

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    4   -3    0    0
## [2,]   -3    3    0    7
## [3,]    0    0    2    0
## [4,]    0    7    0    1

isSymmetric(X)

## [1] TRUE

3.1.9 Matriz definida

Seja \(M\) uma matriz real simétrica \(n \times n\).

\(M\) é positiva-definida se \(x^TMx > 0\) para todo \(x\) real não nulo. \(M\) é positiva-definida se e somente se seus autovalores são positivos.
\(M\) é positiva-semidefinida se \(x^TMx \ge 0\) para todo \(x\) real. \(M\) é positiva-semidefinida se e somente se seus autovalores são não negativos.
\(M\) é negativa-definida se \(x^TMx < 0\) para todo \(x\) real não nulo.\(M\) é negativa-definida se e somente se seus autovalores são negativos.
\(M\) é negativa-semidefinida se \(x^TMx \le 0\) para todo \(x\) real. \(M\) é negativa-semidefinida se e somente se seus autovalores são não positivos.
\(M\) que não é semidefinida positiva nem semidefinida negativa é chamada indefinida.

Exemplo 3.1 Para gerar uma matriz \(A\) positiva-semidefinida de ordem \(n\), basta (1) gerar uma matriz quadrada \(A\) de ordem \(n\) e (2) multiplicar \(A\) por sua transposta. Assim, \(M = A^T A\) é positiva-semidefinida.

set.seed(1); A <- matrix(rnorm(9), nrow = 3)
M <- t(A) %*% A
matrixcalc::is.positive.definite(M)

## [1] TRUE

3.1.10 Matriz diagonalizável

Uma matriz quadrada \(A\) é diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal. Formalmente, existe uma matriz inversível \(P\) e uma matriz diagonal \(D\) tal que \(P^{−1}AP=D\), ou de forma equivalente, \(A=PDP^{-1}\).
Para avaliar se uma matriz é diagonalizável pode-se obter os autovetores multiplicados pela diagonal dos autovalores vezes o inverso da matriz original. Isso deve nos devolver a matriz original, conforme sugestão de JD Long nesta discussão do StackOverflow. .

(A <- matrix(1:16, nrow = 4))

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    5    9   13
## [2,]    2    6   10   14
## [3,]    3    7   11   15
## [4,]    4    8   12   16

(P <- eigen(A)$vectors)

##            [,1]        [,2]       [,3]       [,4]
## [1,] -0.4140028 -0.82289268 -0.1409607  0.3855401
## [2,] -0.4688206 -0.42193991  0.5824445 -0.2240737
## [3,] -0.5236384 -0.02098714 -0.7420069 -0.7084728
## [4,] -0.5784562  0.37996563  0.3005231  0.5470065

(D <- diag(eigen(A)$values))

##          [,1]      [,2]        [,3]          [,4]
## [1,] 36.20937  0.000000 0.00000e+00  0.000000e+00
## [2,]  0.00000 -2.209373 0.00000e+00  0.000000e+00
## [3,]  0.00000  0.000000 9.20347e-16  0.000000e+00
## [4,]  0.00000  0.000000 0.00000e+00 -5.791298e-16

all.equal(P %*% D %*% solve(P), A)

## [1] TRUE

Exercício 3.3 Assista ao vídeo Transformações lineares e matrizes | A essência da Álgebra Linear, capítulo 3 do canal 3Blue1Brown.