5.5 … para dados de contagem
5.5.1 Binomial \(\cdot\) \(\mathcal{B}(n,p)\)
Veja https://filipezabala.com/eb/distr-discr-esp.html#binom.
5.5.2 Multinomial \(\cdot\) \(\mathcal{M}(n,p_1,\ldots,p_k)\)
A distribuição multinomial possui diversos resultados teóricos importantes, sendo utilizada em diversas frentes de trabalho. (N. L. Johnson, Kotz, and Balakrishnan 1997, 32) indicam que esta distribuição parece ter sido explicitamente introduzida na literatura em conexão com o clássico “problema de pontos para três jogadores de igual habilidade” por de Montmort em seu ensaio em 1708. Foi posteriormente usada por de Moivre (1730) em conexão com o mesmo problema.
Formalmente considera-se uma sequência de \(n\) ensaios independentes, dentre os quais apenas um dos \(k\) eventos mutuamente exclusivos \(E_1,E_2,\ldots,E_k\) deve ser observado. A probabilidade de ocorrência de um evento \(E_i\) em qualquer ensaio é igual a \(p_i\), garantindo-se \(p_1+\cdots+p_k=1\). Sejam \(X_1,X_2,\ldots,X_k\) variáveis aleatórias indicando respectivamente o número de ocorrências de \(E_1,E_2,\ldots,E_k\) nos \(n\) ensaios. Neste caso \(X_1,X_2,\ldots,X_k \sim \mathcal{M}(n,p_1,\ldots,p_k)\), e a função (massa) de probabilidade é dada por
\[\begin{equation} p(x_1,\ldots,x_k|p_1,\ldots,p_k) = \frac{n!}{x_1! \cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k} \tag{5.5} \end{equation}\]
onde \(n = \sum_{i=1}^k x_i\), \(\;\; p_i \in \left[ 0,1 \right]\), \(\;\; x_i \in \left\lbrace 0, \ldots, n \right\rbrace\) e \(\;\; i \in \{1,\ldots,k\}\). A esperança e variância são dadas por
\[\begin{equation} E(X_i)=np_i \tag{5.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} V(X_i)=np_i(1-p_i) \tag{5.7} \end{equation}\]
O coeficiente multinomial é dado por \[\begin{equation} {n \choose x_1,\ldots,x_k} = \frac{n!}{x_1! \cdots x_k!} \tag{5.8} \end{equation}\]
Exemplo 5.8 (Adaptado de (Meyer 1970, 177–78)) Uma haste de comprimento especificado é fabricada. Assuma que \(C\): ‘comprimento da haste em centímetros’ é uma variável aleatória uniformemente distribuída em [26,30]. Suponha que se deseja saber apenas se um dos três eventos a seguir ocorreu: \[E_1 = \{C<27\}, \;\; E_2 = \{27 \le C \le 29.5\}, \;\; E_3 = \{C>29.5\}.\] Seja \[Pr(E_1) = 0.25, \;\; Pr(E_2) = 0.65, \;\; Pr(E_3) = 0.10.\]
Assim, se \(n=10\) dessas hastes forem fabricadas, a probabilidade de obter exatamente \(x_1=5\) hastes de comprimento menor que 27 centímetros e exatamente \(x_3=2\) de comprimento maior que 29.5 centímetros é dada por \[Pr(X_1=5, X_2=3, X_3=2)=\frac{10!}{5!3!2!}(0.25)^{5}(0.65)^{3}(0.10)^{2}=0.00675835\]
## [1] 0.00675835## [1] 0.006758355.5.3 Poisson \(\cdot \; \mathcal{P}(\lambda)\)
Veja https://filipezabala.com/eb/distr-discr-esp.html#poisson.
5.5.6 Hipergeométrica \(\cdot \; \mathcal{H}(N,R,n)\)
Veja https://filipezabala.com/eb/distr-discr-esp.html#hipergeom.
5.5.7 Hipergeométrica multivariada \(\cdot \; \mathcal{HM}(N,R,n)\)
\[\begin{equation} p(x_1,\ldots,x_k) = \frac{\prod_{i=1}^k {R \choose x_1,\ldots,x_k}}{{N \choose n}} \tag{5.8} \end{equation}\]