4.2 Gráficos multivariados

There is no statistical tool that is as powerful as a well-chosen graph. Chambers et al. (1983)

Recomenda-se a leitura da seção de Visualização de Estatística Básica.

4.2.1 Matriz de dispersão

pairs(mtcars[,-c(8,9)])  # desconsiderando vs e am

4.2.2 Correlograma

Adaptado de http://www.r-graph-gallery.com/97-correlation-ellipses/.

# Bibliotecas
library(ellipse)
library(RColorBrewer)

# Usando o famoso banco de dados 'mtcars'
R <- cor(mtcars[,-c(8,9)])

# Painel de 100 cores com Rcolor Brewer
my_colors <- brewer.pal(5, "Spectral")
my_colors <- colorRampPalette(my_colors)(100)

# Ordenando a matriz de correlação
ord <- order(R[1, ])
R_ord <- R[ord, ord]
plotcorr(R_ord , col=my_colors[R_ord*50+50] , mar=c(1,1,1,1))

Adaptado de http://r-statistics.co/Top50-Ggplot2-Visualizations-MasterList-R-Code.html#Correlogram.

# Bibliotecas
library(ggplot2)
library(ggcorrplot)

# Matriz de correlação
data(mtcars)
R <- round(cor(mtcars[,-c(8,9)]), 1)

# Gráfico
ggcorrplot(R, hc.order = TRUE,
           type = 'lower',
           lab = TRUE,
           lab_size = 3,
           method = 'circle',
           colors = c('tomato2', 'white', 'springgreen3'),
           title = 'Correlograma de mtcars',
           ggtheme = theme_bw)

Exercício 4.4 Considere o banco de dados iris. a. Obtenha as medidas-resumo média e matriz de covariância das variáveis numéricas. b. Apresente os resultados de forma gráfica. \(\\\)

4.2.3 Boxplot bivariado (bagplot)

(Goldberg and Iglewicz 1992) e (Rousseeuw, Ruts, and Tukey 1999) discutem métodos para construir generalizações bivariadas do boxplot. A implementação em R de (Signorell 2024) é baseada em (Rousseeuw, Ruts, and Tukey 1999), e conforme a documentação “[n]o caso bivariado a caixa do boxplot muda para um polígono convexo, a bolsa (bag) do bagplot”, onde estão 50% de todos os pontos. A cerca (fence) é calculada aumentando a bolsa, e separa os pontos internos e externos. O loop é definido como o invólucro convexo (Seção 4.2.3.1) contendo todos os pontos dentro da cerca.

set.seed(1); dat <- cbind(rnorm(100) + 100, rnorm(100) + 300)
dat <- rbind(dat, c(105,295))

DescTools::PlotBag(dat)

Exercício 4.5 Veja as seguintes documentações:

  1. ?DescTools::PlotBag.
  2. (Wickham and Stryjewski 2011).

4.2.3.1 Invólucro convexo

De acordo com (B. Everitt 2005, 22), “o invólucro convexo4 de um conjunto de observações bivariadas consiste nos vértices do menor poliedro convexo no espaço variável dentro do qual, ou no qual, todos os pontos de dados se encontram. A remoção dos pontos situados no casco convexo pode eliminar valores discrepantes isolados sem perturbar a forma geral da distribuição bivariada. Uma estimativa robusta do coeficiente de correlação resulta da utilização das observações restantes”.

Para uma abordagem em três dimensões, veja (Preparata and Hong 1977).

# Create a set of random data to plot convex hull around
x <- rnorm(100,0.8,0.3)
y <- rnorm(100,0.8,0.3)

#get max and min of all x and y data for nice plotting
xrange <- range(x)
yrange <- range(y)

#plot it up!
plot(x,y,type="p",pch=1,col='black',xlim=c(xrange),ylim=c(yrange))
BMhyd::Plot_ConvexHull(xcoord=x,ycoord=y,lcolor='red')

Exercício 4.6 Veja o artigo disponível em https://medium.com/@pascal.sommer.ch/a-gentle-introduction-to-the-convex-hull-problem-62dfcabee90c

4.2.4 Gráfico qui

Gráficos qui (N. I. Fisher and Switzer 1985), (N. I. Fisher and Switzer 2001) fornecem um método para diagnosticar dependência multivariada entre \(Y\) variáveis. São gráficos de dispersão dos pares \((\lambda_i, \chi_i)\) onde

\[\begin{equation} \chi_i = \frac{H_i-F_i G_i}{\sqrt{F_i (1-F_i) G_i (1-G_i)}} \tag{4.26} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \lambda_i = 4 S_i \max \left\{ \left( F_i - \frac{1}{2} \right)^2, \left( G_i - \frac{1}{2} \right)^2 \right\} \tag{4.27} \end{equation}\]

\[\begin{equation} H_i = \sum_{j \ne i} \frac{I(x_j \le x_i, y_j \le y_i)}{n-1} \tag{4.28} \end{equation}\]

\[\begin{equation} F_i = \sum_{j \ne i} \frac{I(x_j \le x_i)}{n-1} \tag{4.29} \end{equation}\]

\[\begin{equation} G_i = \sum_{j \ne i} \frac{I(y_j \le y_i)}{n-1} \tag{4.30} \end{equation}\]

\[\begin{equation} S_i = \mathop{\mathrm{sign}}\left\{ \left( F_i - \frac{1}{2} \right) \left( G_i - \frac{1}{2} \right) \right\} \tag{4.31} \end{equation}\]

onde \(I(A)\) é a função indicadora do evento \(A\), sendo igual a 1 de \(A\) é verdadeira e 0 caso contrário. \(\mathop{\mathrm{sign}}(x)\) é igual a \(+1\) se \(x>0\), 0 se \(x=0\) e \(-1\) se \(x<0\). Quando as variáveis avaliadas são independentes, os pontos devem estar distribuídos dentro das bandas calculadas; quando forem dependentes, devem-se observar pontos fora das bandas.

Exemplo 4.5 Considere os gráficos a seguir, inspirados no exemplo da documentação de asbio::chi.plot.

library(asbio)
library(mvtnorm)
# X simulado com correlação 0.9
set.seed(1); X <- mvtnorm::rmvnorm(100, mean = c(15,18), 
                                   sigma = matrix(c(2^2, 0.9*2*3.2,
                                                    0.9*2*3.2, 3.2^2), nrow = 2))
# Y simulado com correlação 0
set.seed(2); Y <- mvtnorm::rmvnorm(100, mean = c(15,18), 
                                   sigma = matrix(c(2^2, 0,
                                                    0, 3.2^2), nrow = 2))
# gráficos
par(mfrow=c(2,2))
plot(X[,1], X[,2], main = 'Correlação 0.9')
asbio::chi.plot(X[,1], X[,2], main = 'Pontos acima das bandas')

plot(Y[,1], Y[,2], main = 'Correlação 0')
asbio::chi.plot(Y[,1], Y[,2], main = 'Pontos dentro das bandas')

Exercício 4.7 Considere os dados do Exemplo 4.5.
a. Por que os elementos da diagonal principal de \(\Sigma\) estão elevados ao quadrado?
b. A partir da Eq. (4.21) verifique por que a diagonal secundária da matriz \(\Sigma\) de \(X\) é dada por 0.9*2*3.2.
c. Crie uma variável \(Z\) com correlação -0.7 e analise seu gráfico qui.

4.2.5 Phoenixmap

(Zhao et al. 2020) apresentam o o Phoenixmap, “um método simples de visualização abstrata para resolver o problema de visualização de múltiplas distribuições espaciais simultanemante”. De acordo com os autores, identifica-se “o contorno fechado da coleção de pontos e, em seguida, atribui diferentes larguras aos segmentos do contorno de acordo com as regiões internas correspondentes dos segmentos. Assim, uma distribuição 2D é representada como um contorno com espessuras variadas”. A implementação é feita sobre o algoritmo de invólucro côncavo de (Moreira and Santos 2007).

4.2.6 The Grand Tour

(Asimov 1985) apresenta o Grand Tour, método para visualizar dados estatísticos multivariados por meio de projeções ortogonais em uma sequência de subespaços bidimensionais. Exemplos de aplicação podem ser encontrados no pacote Pursuit de (Ossani and Cirillo 2021), detalhado na Seção 9.4.

# res <- GrandTour(iris[,1:4], method = "Torus", title = NA, xlabel = NA, ylabel = NA,
#                  color = TRUE, linlab = NA, class = NA, posleg = 2, boxleg = TRUE, 
#                  axesvar = TRUE, axes = FALSE, numrot = 10, choicerot = NA,
#                  savptc = FALSE, width = 3236, height = 2000, res = 300)
# 
# print("Projected data:"); res$proj.data
# print("Projection vectors:"); res$vector.opt
# print("Grand Tour projection method:"); res$method
# 
#         
# res <- GrandTour(iris[,1:4], method = "Interpolation", title = NA, xlabel = NA, ylabel = NA,
#                  color = TRUE, linlab = NA, posleg = 2, boxleg = FALSE, axesvar = FALSE, 
#                  axes = FALSE, numrot = 10, choicerot = NA, class = iris[,5],
#                  classcolor = c("goldenrod3","gray53","red"),savptc = FALSE, 
#                  width = 3236, height = 2000, res = 300)
#          
# print("Projected data:"); res$proj.data
# print("Projection vectors:"); res$vector.opt
# print("Grand Tour projection method:"); res$method

Referências

Asimov, Daniel. 1985. “The Grand Tour: A Tool for Viewing Multidimensional Data.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 6 (1): 128–43. https://doi.org/10.1137/0906011.
Everitt, Brian. 2005. An r and s-PLUS Companion to Multivariate Analysis. Springer.
Fisher, N. I., and P. Switzer. 1985. “Chi-Plots for Assessing Dependence.” Biometrika 72 (2): 253–65. https://www.jstor.org/stable/2336078.
———. 2001. “Graphical Assessment of Dependence: Is a Picture Worth 100 Tests?” The American Statistician 55 (3): 233–39. https://doi.org/10.1198/000313001317098248.
Goldberg, Kenneth M, and Boris Iglewicz. 1992. “Bivariate Extensions of the Boxplot.” Technometrics 34 (3): 307–20. https://www.jstor.org/stable/1270037.
Moreira, Adriano, and Maribel Yasmina Santos. 2007. “Concave Hull: A k-Nearest Neighbours Approach for the Computation of the Region Occupied by a Set of Points.”
Ossani, Paulo Cesar, and Marcelo Angelo Cirillo. 2021. Projection Pursuit. https://CRAN.R-project.org/package=Pursuit.
Preparata, Franco P., and Se June Hong. 1977. “Convex Hulls of Finite Sets of Points in Two and Three Dimensions.” Communications of the ACM 20 (2): 87–93. https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/359423.359430.
Rousseeuw, Peter J, Ida Ruts, and John W Tukey. 1999. “The Bagplot: A Bivariate Boxplot.” The American Statistician 53 (4): 382–87. https://wis.kuleuven.be/statdatascience/robust/papers/1999/rousseeuwrutstukey-bagplot-amerstat-1999-bw.pdf.
Signorell, Andri. 2024. DescTools: Tools for Descriptive Statistics. https://CRAN.R-project.org/package=DescTools.
Wickham, Hadley, and Lisa Stryjewski. 2011. “40 Years of Boxplots.” The American Statistician, 17. https://vita.had.co.nz/papers/boxplots.html.
Zhao, Junhan, Xiang Liu, Chen Guo, Zhenyu Cheryl Qian, and Yingjie Victor Chen. 2020. “Phoenixmap: An Abstract Approach to Visualize 2D Spatial Distributions.” CoRR abs/2002.00732. https://arxiv.org/abs/2002.00732.

  1. The convex hull of a set of bivariate observations consists of the vertices of the smallest convex polyhedron in variable space within which, or on which, all data points lie. Removal of the points lying on the convex hull can eliminate isolated outliers without disturbing the general shape of the bivariate distribution. A robust estimate of the correlation coefficient results from using the remaining observations.↩︎