4.1 Vetores e matrizes aleatórios
Definição 4.1 Seja \(\varepsilon\) um experimento associado ao espaço amostral \(\Omega\). Sejam \(X_1(\omega), \ldots, X_p(\omega)\) funções associando um número real a cada resultado \(\omega \in \Omega\). Será denominada \((X_1,\ldots,X_p)\) variável aleatória p-dimensional.
Um vetor aleatório é portanto um vetor \(1 \times n\) ou \(n \times 1\) composto por variáveis aleatórias. De maneira análoga uma matriz aleatória é uma matriz \(n \times p\) formada por variáveis aleatórias. Tais matrizes são usualmente representadas por \(X\), formada por \(n\) observações e \(p\) variáveis. \[\begin{equation} X = X_{n \times p} = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{np} \end{bmatrix} \tag{4.1} \end{equation}\]
Cada linha é um vetor \(p\)-variado de observações do elemento \(i \in \{1,2,\ldots,n\}\).
Cada coluna corresponde a uma variável \(X_j\) \(n\)-variada, \(j \in \{1,2,\ldots,p\}\).
Exemplo 4.1 Considere experimento aleatório \(\varepsilon\): ‘lançar um dado duas vezes’. Seu espaço amostral é definido por \[ \Omega = \left\lbrace \begin{array}{cccccc} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \end{array} \right\rbrace \]
Sejam as variáveis aleatórias \(X_1\): ‘soma dos pontos’, \(X_2\): ‘diferença dos pontos’, \(X_3\): ‘produto dos pontos’ e \(X_4\): ‘quociente dos pontos’. Seus contradomínios são dados por \[R_{X_1} = \{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \}\] \[R_{X_2} = \{ -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 \}\] \[R_{X_3} = \{ 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36 \}\] \[R_{X_4} = \left\{ \frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},1,\frac{6}{5},\frac{5}{4},\frac{4}{3},\frac{3}{2},\frac{5}{3},2,\frac{5}{2},3,4,5,6 \right\}\]
A matriz \(X\) pode ser calculada, tal que \(n=36\) e \(p=4\).
rn <- expand.grid(1:6,1:6)
X <- matrix(nrow = nrow(rn), ncol = 4)
rownames(X) <- paste0('(', rn[,2], ',', rn[,1], ')')
colnames(X) <- paste0('X', 1:4)
X[,1] <- rn[,2]+rn[,1] # Soma
X[,2] <- rn[,2]-rn[,1] # Diferença
X[,3] <- rn[,2]*rn[,1] # Produto
X[,4] <- rn[,2]/rn[,1] # Quociente
MASS::fractions(X)## X1 X2 X3 X4
## (1,1) 2 0 1 1
## (1,2) 3 -1 2 1/2
## (1,3) 4 -2 3 1/3
## (1,4) 5 -3 4 1/4
## (1,5) 6 -4 5 1/5
## (1,6) 7 -5 6 1/6
## (2,1) 3 1 2 2
## (2,2) 4 0 4 1
## (2,3) 5 -1 6 2/3
## (2,4) 6 -2 8 1/2
## (2,5) 7 -3 10 2/5
## (2,6) 8 -4 12 1/3
## (3,1) 4 2 3 3
## (3,2) 5 1 6 3/2
## (3,3) 6 0 9 1
## (3,4) 7 -1 12 3/4
## (3,5) 8 -2 15 3/5
## (3,6) 9 -3 18 1/2
## (4,1) 5 3 4 4
## (4,2) 6 2 8 2
## (4,3) 7 1 12 4/3
## (4,4) 8 0 16 1
## (4,5) 9 -1 20 4/5
## (4,6) 10 -2 24 2/3
## (5,1) 6 4 5 5
## (5,2) 7 3 10 5/2
## (5,3) 8 2 15 5/3
## (5,4) 9 1 20 5/4
## (5,5) 10 0 25 1
## (5,6) 11 -1 30 5/6
## (6,1) 7 5 6 6
## (6,2) 8 4 12 3
## (6,3) 9 3 18 2
## (6,4) 10 2 24 3/2
## (6,5) 11 1 30 6/5
## (6,6) 12 0 36 1Definição 4.2 Seja \((X_1, \ldots, X_p)\) uma variável aleatória p-dimensional discreta. Para cada ponto de \(R_{X}\) associa-se uma função (massa) de probabilidade (fmp) \(p(x_1,\ldots,x_p)\), satisfazendo
\[\begin{equation} p(x_1,\ldots,x_p) \ge 0, \forall \; x_j, \; j \in \{1,2,\ldots,p\} \tag{4.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \sum_{x_1} \cdots \sum_{x_p} p(x_1,\ldots,x_p) = 1 \tag{4.3} \end{equation}\]
Exemplo 4.2 Podem-se calcular probabilidades associadas à variável aleatória 4-dimensional discreta \(X\) do Exemplo 4.1.
\[Pr(X_1 \le 3) = Pr(\{(1,1),(1,2),(2,1)\}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\]
\[Pr(X_2 = 0) = Pr(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
\[Pr(X_1 \le 3, X_2 = 0) = Pr(\{(1,1)\}) = \frac{1}{36}\]
\[Pr(X_1 > 4, X_2 < 0, X_3 > 2, X_4 < 1/2) = Pr(\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)\}) = \frac{5}{36}\]
## [1] 3## [1] 6## [1] 1## [1] 5Note que \[Pr(X_1 = 2, X_2 = 0, X_3 = 1, X_4 = 1) = \cdots = Pr(X_1 = 12, X_2 = 0, X_3 = 36, X_4 = 1) = \frac{1}{36} > 0\] \[Pr(X_1 = 2, X_2 = 0, X_3 = 1, X_4 = 1) + \cdots + Pr(X_1 = 12, X_2 = 0, X_3 = 36, X_4 = 1) = 1\]
Exercício 4.1 Considere o Exemplo 4.1.
a. Amplie a matriz \(X\) considerando as variáveis \(X_5\): ‘média dos pontos’ e \(X_6\): ‘norma dos pontos’ conforme Eq. (3.9). Indique \(n\) e \(p\).
b. No Exemplo 4.2 substitua sum por which e interprete a saída.
c. Calcule \(Pr(X_1 > 2, X_2 < 0, X_3 > 1, X_4 < 1, X_5 \ge 1, X_6 > 1)\).
Definição 4.3 Seja \((X_1, \ldots, X_p)\) uma variável aleatória p-dimensional contínua. Para cada ponto de \(R_{X}\) associa-se uma (função) densidade (de probabilidade) (fdp) \(f(x_1,\ldots,x_p)\), satisfazendo
\[\begin{equation} f(x_1,\ldots,x_p) \ge 0, \forall \; x_j, \; j \in \{1,2,\ldots,p\} \tag{4.4} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \int_{x_1} \cdots \int_{x_p} f(x_1,\ldots,x_p)\;dx_p \cdots dx_1 = 1 \tag{4.5} \end{equation}\]
A fda, (função de) distribuição (acumulada) \(F\) de uma variável aleatória multivariada é definida como
\[\begin{equation} F(\boldsymbol{x}) = Pr(X_1 \leq x_1, \ldots, X_p \leq x_p) \tag{4.6} \end{equation}\]
Note que \[f(x_1,\ldots,x_p)=F'(x_1,\ldots,x_p),\] \[Pr(X_1=x_1, \ldots, X_p=x_p)=0\] e \[Pr(X_1 \le x_1, \ldots, X_p \le x_p) = Pr(X_1 < x_1, \ldots, X_p < x_p).\]
4.1.1 Vetor de médias
Geralmente um conjunto de dados é caracterizado pelo vetor de médias e pela matriz de variâncias e covariâncias. A notação referente aos parâmetros (populacionais) e às estatísticas (amostrais) é distinta, conforme definido a seguir.
4.1.2 Matriz de variâncias e covariâncias
A notação da matriz de variâncias e covariâncias (ou simplesmente matriz (de) covariância) também é diferenciada para parâmetros e estatísticas, sendo que a partir de \(S\) estima-se \(\Sigma\). Note que \(\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\), portanto será utilizada a notação \(\sigma_{ij}\) para as covariâncias e \(\sigma_{ii} = \sigma_{i}^2\) para as variâncias. O mesmo vale para a matriz \(S\).
Universal/populacional
\[\begin{equation} \Sigma = Cov(X) = \begin{bmatrix} \sigma_{1}^2 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1p} \\ \sigma_{12} & \sigma_{2}^2 & \cdots & \sigma_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{1p} & \sigma_{2p} & \cdots & \sigma_{p}^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sigma_{1}^2 & \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2 & \cdots & \rho_{1p} \sigma_1 \sigma_p \\ \rho_{12} \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_{2}^2 & \cdots & \rho_{2p} \sigma_2 \sigma_p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho_{1p} \sigma_1 \sigma_p & \rho_{2p} \sigma_2 \sigma_p & \cdots & \sigma_{p}^2 \end{bmatrix} \tag{4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} Var(X_j) = \sigma_{X_j}^2 = \sigma_{j}^2 = \sigma_{X_j X_j} = \sigma_{jj} = \frac{\sum_{i=1}^N (x_{ji} - \mu_{j})^2}{N} \tag{4.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} Cov(X_j,X_k) = \sigma_{X_j X_k} = \sigma_{jk} = \frac{\sum_{i=1}^N (x_{ji} - \mu_{j})(x_{ki} - \mu_{k})}{N} \tag{4.13} \end{equation}\]
\(\rho_{jk}\) é dado conforme Eq. (4.21). No caso bivariado a inversa de \(\Sigma\) só existe se \(|\rho|<1\) pois \[\begin{equation} |\Sigma| = \sigma_1^2 \sigma_2^2 (1-\rho^2) \tag{4.14} \end{equation}\]
Amostral
\[\begin{equation} S = cov(X) = \begin{bmatrix} s_{1}^2 & s_{12} & \cdots & s_{1p} \\ s_{12} & s_{2}^2 & \cdots & s_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{1p} & s_{2p} & \cdots & s_{p}^2 \end{bmatrix} \tag{4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} var(X_j) = s_{X_j}^2 = s_{j}^2 = s_{X_j X_j} = s_{jj} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_{ji} - \bar{x}_{j})^2}{n-1} \tag{4.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} cov(X_j,X_k) = s_{X_j X_k} = s_{jk} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_{ji} - \bar{x}_{j})(x_{ki} - \bar{x}_{k})}{n-1} \tag{4.17} \end{equation}\]
4.1.2.1 Simulando
A matriz de covariâncias \(\Sigma\) possui as seguintes propriedades:
- Simétrica, i.e., \(\Sigma = \Sigma^T\).
- Positiva definida, i.e., \(z^T \Sigma z > 0, \forall z \ne 0.\)
Teoremas
1. Uma matriz simétrica é positiva definida se e somente se todos seus autovalores são positivos.
2. Uma matriz simétrica é positiva definida se e somente se a decomposição \(M=B^TB\) existe com \(B\) inversível.
Considerando o Teorema 2, pode-se simular uma matriz de covariâncias gerando uma matriz qualquer \(B\) e multiplicando pela sua transposta.
dm <- 3 # dimensão desejada
# set.seed(777)
seed <- rnorm(dm^2)
B <- matrix(seed, nrow = dm, ncol = dm)
(Sigma <- crossprod(B, B))## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 2.5307221 -2.719875 0.3571942
## [2,] -2.7198752 6.556305 1.1255217
## [3,] 0.3571942 1.125522 0.8931079## [1] TRUE## [1] TRUEExercício 4.2 Mostre que a matriz de covariâncias amostral \(S\) possui as mesmas propriedades de \(\Sigma\).
4.1.3 Matriz de desvios padrão
\[\begin{equation} \boldsymbol{V}^{1/2} = \begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sigma_{p} \end{bmatrix} \tag{4.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \sigma_j = \sqrt{\sigma_j^2} \tag{4.19} \end{equation}\]
4.1.4 Matriz de correlação
A correlação é obtida dividindo-se a covariância pelo produto dos desvios padrão.
Universal/populacional
\[\begin{equation} \boldsymbol{\rho} = Cor(X) = \begin{bmatrix} 1 & \rho_{12} & \cdots & \rho_{1p} \\ \rho_{12} & 1 & \cdots & \rho_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho_{1p} & \rho_{2p} & \cdots & 1 \end{bmatrix} \tag{4.20} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \rho_{jk} = \dfrac{\sigma_{jk}}{\sigma_{j}\sigma_{k}} \tag{4.21} \end{equation}\]
Amostral
\[\begin{equation} R = cor(X) = \begin{bmatrix} 1 & r_{12} & \cdots & r_{1p} \\ r_{12} & 1 & \cdots & r_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{1p} & r_{2p} & \cdots & 1 \end{bmatrix} \tag{4.22} \end{equation}\]
\[\begin{equation} r_{jk} = \dfrac{s_{jk}}{s_{j}s_{k}} \tag{4.23} \end{equation}\]
4.1.5 Propriedades
\[\begin{equation} V^{1/2} \boldsymbol{\rho} V^{1/2} = \Sigma \tag{4.24} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\rho} = (V^{1/2})^{-1} \Sigma (V^{1/2})^{-1} \tag{4.25} \end{equation}\]
Exemplo 4.3 \(\\\)
## [,1] [,2]
## [1,] 10 5
## [2,] 11 4
## [3,] 12 7
## [4,] 13 9
## [5,] 14 10## X1 X2
## 12 7## X1 X2
## X1 2.50 3.75
## X2 3.75 6.50## X1 X2
## X1 1.0000000 0.9302605
## X2 0.9302605 1.00000004.1.6 Medidas-resumo
Exemplo 4.4 Considere o banco de dados mtcars extraído da revista Motor Trend US de 1974, que abrange o consumo de combustível e 10 aspectos/variáveis do desenho e desempenho de 32 automóveis (modelos de 1973 a 1974).
As variáveis são as seguintes:
mpgMilhas/galão (EUA) (1 gal EUA \(\approx\) 3.78541L)cylNúmero de cilindrosdispCilindrada (polegada cúbica)hpPotência bruta (cavalos de força)dratRelação do eixo traseirowtPeso (1000 libras) (1lb \(\approx\) 0.453592kg)qsegTempo de 1/4 de milha (1mi \(\approx\) 1.60934km)vsMotor (0 = em forma de V, 1 = reto)amTransmissão (0 = automático, 1 = manual)gearNúmero de marchas para frentecarbNúmero de carburadores
## 'data.frame': 32 obs. of 11 variables:
## $ mpg : num 21 21 22.8 21.4 18.7 18.1 14.3 24.4 22.8 19.2 ...
## $ cyl : num 6 6 4 6 8 6 8 4 4 6 ...
## $ disp: num 160 160 108 258 360 ...
## $ hp : num 110 110 93 110 175 105 245 62 95 123 ...
## $ drat: num 3.9 3.9 3.85 3.08 3.15 2.76 3.21 3.69 3.92 3.92 ...
## $ wt : num 2.62 2.88 2.32 3.21 3.44 ...
## $ qsec: num 16.5 17 18.6 19.4 17 ...
## $ vs : num 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ...
## $ am : num 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
## $ gear: num 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 ...
## $ carb: num 4 4 1 1 2 1 4 2 2 4 ...mtcars$cyl <- as.integer(mtcars$cyl) # tratado cyl como integer
mtcars$vs <- as.character(mtcars$vs) # tratado vs como character
mtcars$am <- as.character(mtcars$am) # tratado am como character
mtcars$gear <- as.integer(mtcars$gear) # tratado gear como integer
mtcars$carb <- as.integer(mtcars$carb) # tratado carb como integer
str(mtcars) # verificando novamente## 'data.frame': 32 obs. of 11 variables:
## $ mpg : num 21 21 22.8 21.4 18.7 18.1 14.3 24.4 22.8 19.2 ...
## $ cyl : int 6 6 4 6 8 6 8 4 4 6 ...
## $ disp: num 160 160 108 258 360 ...
## $ hp : num 110 110 93 110 175 105 245 62 95 123 ...
## $ drat: num 3.9 3.9 3.85 3.08 3.15 2.76 3.21 3.69 3.92 3.92 ...
## $ wt : num 2.62 2.88 2.32 3.21 3.44 ...
## $ qsec: num 16.5 17 18.6 19.4 17 ...
## $ vs : chr "0" "0" "1" "1" ...
## $ am : chr "1" "1" "1" "0" ...
## $ gear: int 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 ...
## $ carb: int 4 4 1 1 2 1 4 2 2 4 ...## mpg cyl disp hp drat wt
## Min. :10.40 Min. :4.000 Min. : 71.1 Min. : 52.0 Min. :2.760 Min. :1.513
## 1st Qu.:15.43 1st Qu.:4.000 1st Qu.:120.8 1st Qu.: 96.5 1st Qu.:3.080 1st Qu.:2.581
## Median :19.20 Median :6.000 Median :196.3 Median :123.0 Median :3.695 Median :3.325
## Mean :20.09 Mean :6.188 Mean :230.7 Mean :146.7 Mean :3.597 Mean :3.217
## 3rd Qu.:22.80 3rd Qu.:8.000 3rd Qu.:326.0 3rd Qu.:180.0 3rd Qu.:3.920 3rd Qu.:3.610
## Max. :33.90 Max. :8.000 Max. :472.0 Max. :335.0 Max. :4.930 Max. :5.424
## qsec vs am gear carb
## Min. :14.50 Length:32 Length:32 Min. :3.000 Min. :1.000
## 1st Qu.:16.89 Class :character Class :character 1st Qu.:3.000 1st Qu.:2.000
## Median :17.71 Mode :character Mode :character Median :4.000 Median :2.000
## Mean :17.85 Mean :3.688 Mean :2.812
## 3rd Qu.:18.90 3rd Qu.:4.000 3rd Qu.:4.000
## Max. :22.90 Max. :5.000 Max. :8.000## vs am
## 0 18 19
## 1 14 13## mpg cyl disp hp drat wt qsec gear carb
## 6.027 1.786 123.939 68.563 0.535 0.978 1.787 0.738 1.615cv <- function(x) {sd(x)/mean(x)} # coeficiente de variação, cv
round(sapply(mtcars[,-c(8,9)], cv), 3) # cv, desconsiderando vs e am## mpg cyl disp hp drat wt qsec gear carb
## 0.300 0.289 0.537 0.467 0.149 0.304 0.100 0.200 0.574## mpg cyl disp hp drat wt qsec gear carb
## mpg 36.324 -9.172 -633.097 -320.732 2.195 -5.117 4.509 2.136 -5.363
## cyl -9.172 3.190 199.660 101.931 -0.668 1.367 -1.887 -0.649 1.520
## disp -633.097 199.660 15360.800 6721.159 -47.064 107.684 -96.052 -50.803 79.069
## hp -320.732 101.931 6721.159 4700.867 -16.451 44.193 -86.770 -6.359 83.036
## drat 2.195 -0.668 -47.064 -16.451 0.286 -0.373 0.087 0.276 -0.078
## wt -5.117 1.367 107.684 44.193 -0.373 0.957 -0.305 -0.421 0.676
## qsec 4.509 -1.887 -96.052 -86.770 0.087 -0.305 3.193 -0.280 -1.894
## gear 2.136 -0.649 -50.803 -6.359 0.276 -0.421 -0.280 0.544 0.327
## carb -5.363 1.520 79.069 83.036 -0.078 0.676 -1.894 0.327 2.609## mpg cyl disp hp drat wt qsec gear carb
## mpg 1.000 -0.852 -0.848 -0.776 0.681 -0.868 0.419 0.480 -0.551
## cyl -0.852 1.000 0.902 0.832 -0.700 0.782 -0.591 -0.493 0.527
## disp -0.848 0.902 1.000 0.791 -0.710 0.888 -0.434 -0.556 0.395
## hp -0.776 0.832 0.791 1.000 -0.449 0.659 -0.708 -0.126 0.750
## drat 0.681 -0.700 -0.710 -0.449 1.000 -0.712 0.091 0.700 -0.091
## wt -0.868 0.782 0.888 0.659 -0.712 1.000 -0.175 -0.583 0.428
## qsec 0.419 -0.591 -0.434 -0.708 0.091 -0.175 1.000 -0.213 -0.656
## gear 0.480 -0.493 -0.556 -0.126 0.700 -0.583 -0.213 1.000 0.274
## carb -0.551 0.527 0.395 0.750 -0.091 0.428 -0.656 0.274 1.000## m cy ds h dr w q g cr
## mpg 1
## cyl + 1
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