6.2 \(t\) de Student
6.2.1 \(t\) univariada \(\cdot \; \mathcal{t_\nu}\)
6.2.2 \(t\) multivariada \(\cdot \; \mathcal{t_\nu}(\boldsymbol{\mu},\Sigma)\)
\[\begin{equation} f(\boldsymbol{x}|\nu,\boldsymbol{\mu},\Sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu+p}{2} \right)}{ \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) (\nu \pi)^{p/2} |\Sigma|^{1/2}} \left[ 1+\frac{1}{\nu} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})' \Sigma^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}) \right]^{-\frac{\nu + p}{2}} \tag{6.4} \end{equation}\]
(Kotz and Nadarajah 2004) apresentam uma série de resultados e aplicações da \(t\) multivariada.
6.2.2.1 Biblioteca mvtnorm
Assim como para a distribuição normal (Seção 6.1.3.1), a biblioteca mvtnorm (Genz et al. 2021) também disponibiliza funções para lidar com a \(t\) multivariada.
Exemplo 6.7 Adaptado da documentação de mvtnorm::pmvt() calcula-se \[Pr(-1<X_1<3,-1<X_2<3,-1<X_3<3,-1<X_4<3,-1<X_5<3)\] de uma \(t\) de dimensão \(p=5\) com \(\nu=4\), \(\boldsymbol{\mu}'=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) e \[\boldsymbol{\rho} = \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 1 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0.5 & 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 1 \end{bmatrix}\]
p <- 5
df <- 4
mu <- rep(0,p) # pode-se omitir pois \mu=0 é o padrão
corr <- diag(5)
corr[lower.tri(corr)] <- 0.5
lower <- rep(-1,p)
upper <- rep(3,p)
mvtnorm::pmvt(lower=lower, upper=upper, delta=mu, df=df, corr=corr, seed=42)## [1] 0.5064539
## attr(,"error")
## [1] 0.000282062
## attr(,"msg")
## [1] "Normal Completion"Exemplo 6.8 Considerando os dados do Exemplo 6.3, pode-se resolver a integral a seguir utlizando a função mvtnorm::pmvt, bastando utlilizar df=0 e trocando o argumento mean por delta (parâmetros de não-centralidade). \[\boldsymbol{\mu}' = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \;\;\; \text{e} \;\;\; \boldsymbol{\rho} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{1}{3} \\ \frac{3}{5} & 1 & \frac{11}{15} \\ \frac{1}{3} & \frac{11}{15} & 1 \end{bmatrix}\] calcula-se a probabilidade
\[ Pr(X_1<1, X_2<4, X_3<2) = \dfrac{1}{\sqrt{(2\pi)^3 |\Sigma|}} \int_{-\infty}^{1} \int_{-\infty}^{4} \int_{-\infty}^{2} e^{-\frac{1}{2} \boldsymbol{x}' \Sigma^{-1} \boldsymbol{x}} dx_3 dx_2 dx_1 \]
Note que a função admite matrizes de correlação triangulares no argumento corr.
m <- 3
rho <- diag(3)
rho[2,1] <- 3/5
rho[3,1] <- 1/3
rho[3,2] <- 11/15
mvtnorm::pmvt(lower = rep(-Inf, m), upper = c(1,4,2),
delta = rep(0, m), corr = rho, df = 0, seed = 42)## [1] 0.8279853
## attr(,"error")
## [1] 1.50763e-06
## attr(,"msg")
## [1] "Normal Completion"