2.1 Funções de variáveis aleatórias

Uma função de variável aleatória é uma transformação (função) de \(\mathbb{R}^n\) em \(\mathbb{R}^n\), denotada \(g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\).

Exemplo 2.1 Seja a variável aleatória \(X \sim \mathcal{U}(-1,1)\) e a função \(Y=X^2\). É possível obter a fdp \(g(y)\). Inicialmente considere os gráficos de \(f(x)\) por \(x\) e \(y\) por \(x\). Pelos gráficos é possível verificar que \(x \in (-1,1)\), \(f(x)=\frac{1}{2}\) e \(y \in (0,1)\). Os limites \(-\sqrt{y}\) e \(\sqrt{y}\) são obtidos durante o Passo 1 a seguir.

Passo 1

\[\begin{align*} G(y) &= Pr(Y < y) \\ &= Pr(X^2 < y) \\ &= Pr(-\sqrt{y} < X < \sqrt{y}) \\ &= \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{1}{2} dx \\ &= \frac{1}{2} [\sqrt{y} - (-\sqrt{y})] \\ G(y) &= \sqrt{y} \end{align*}\]

Conferindo
\(G(0) = \sqrt{0} = 0\)
\(G(1) = \sqrt{1} = 1\)

Passo 2

\[\begin{align*} g(y) &= G'(y) \\ &= \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2}-1} \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{y}}\\ g(y) &= \frac{\sqrt{y}}{2y} \end{align*}\]

Conferindo
\(\int_{0}^{1} \frac{1}{2} y^{-\frac{1}{2}} dy = \frac{1}{2}[2y^{\frac{1}{2}}] \Big|_0^1 = 1\)

Finalmente é possível fazer o gráfico de \(g(y)\) por \(y\), verificando-se \(g(y) \in (1/2,\infty)\).