4.4 Distribuições condicionais
Para encontrar uma distribuição (de probabilidade) condicional, basta aplicar a definição de probabilidade condicional.
4.4.1 Discreta
\[\begin{equation} p(x|y) = \frac{f(x,y)}{q(y)} \tag{4.38} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q(y|x) = \frac{f(x,y)}{p(x)} \tag{4.39} \end{equation}\]
Exemplo 4.10 Pode-se calcular probabilidades condicionais do Exemplo 4.8.
\(Pr(X=1|Y=1) = p(1|1) = \frac{f(1,1)}{q(1)} = \frac{0.100}{0.325} \approx 0.3076923\) \(Pr(Y=1|X=1) = q(1|1) = \frac{f(1,1)}{p(1)} = \frac{0.100}{0.275} \approx 0.3636364\)
Exercício 4.9 Calcule todas as condicionais do Exemplo 4.10.
4.4.2 Contínua
\[\begin{equation} g(x|y) = \frac{f(x,y)}{h(y)} \tag{4.40} \end{equation}\]
\[\begin{equation} h(y|x) = \frac{f(x,y)}{g(x)} \tag{4.41} \end{equation}\]
Exemplo 4.11 (Adaptado de (Meyer 1970, 103)) Seja \(f(x,y)=x^2 + \frac{xy}{3}\), \(0 \le x \le 1\), \(0 \le y \le 2\). Pode-se mostrar que as marginais são \[g(x)=2x^2+\frac{2}{3}x, 0 \le x \le 1\] e \[h(y)=\frac{y}{6}+\frac{1}{3}, 0 \le y \le 2\] Assim, \[g(x|y)=\frac{x^2+xy/3}{1/3+y/6}=\frac{6x^2+2xy}{2+y}, 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2\] e \[h(y|x)=\frac{x^2+xy/3}{2x^2+(2/3)x}=\frac{3x+y}{6x+2}, 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2\]
Exercício 4.10 Considere o Exemplo 4.11.
- Obtenha as marginais \(g(x)\) e \(h(y)\).
- Verifique que \(g(x|y)\) e \(h(y|x)\) são distribuições de probabilidade.
- Realize a divisão de polinômios para validar as expressões de \(g(x|y)\) e \(h(y|x)\). Sugestão: Divisão de polinômios do Khan Academy.