4.5 Independência

Definição 4.6 Seja \((X_1, \ldots, X_n)\) uma variável aleatória n-dimensional. Dizemos que \(X_1, \ldots, X_n\) são independentes se, e somente se, \(f(x_1,\ldots,x_n) = f(x_1) \ldots f(x_n)\).

Exemplo 4.12 Do Exemplo 4.8 sabe-se que, por exemplo, \[f(0,2) = 0.250 \ne 0.18375 = 0.350 \times 0.525 = p(0)q(2)\]. Logo \(X\) e \(Y\) não são independentes. Note que deve-se garantir que todas as conjuntas são iguais ao produto das marginais para declarar independência de \(X\) e \(Y\).

Exemplo 4.13 Seja \(f(x,y)=6(2y^2 - xy^2)\), \(1<x<2\), \(0<y<1\). Pela Eq. (4.36)

\[g(x) = \int_{0}^{1} 6(2y^2 - xy^2) dy = 2(2-x), \; 1<x<2\]

Pela Eq. (4.37)

\[h(y) = \int_{1}^{2} 6(2y^2 - xy^2) dx = 3y^2, \; 0<y<1\]

Como \(f(x,y) = 2(2-x) \times 3y^2 = 6(2y^2 - xy^2)\), \(X\) e \(Y\) são independentes.