5.7 … para dispersão e precisão
A precisão é o inverso da variância no caso univariado, e o inverso da matriz de covariâncias no caso multivariado.
Univariado
\(P=\frac{1}{\sigma^2}\)
Multivariado
\(\Omega = \Sigma^{-1}\)
5.7.2 Gama inversa
A função densidade da gama inversa pode ser dada por \[\begin{equation} f(x|\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{1}{x} \right)^{\alpha+1} e^{-\beta/x} \tag{5.20} \end{equation}\] onde \(x>0\), \(\alpha>0\) (forma/shape), \(\beta>0\) (escala/scale) e \(\Gamma\) é a função gama. A esperança e variância são dadas por \[\begin{equation} E(X) = \frac{\beta}{\alpha-1}, \;\; \alpha>1 \tag{5.21} \end{equation}\] \[\begin{equation} V(X) = \frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}, \;\; \alpha>2 \tag{5.22} \end{equation}\]
A mediana não tem forma fechada, e a moda é dada por \[\begin{equation} Mo(X) = \frac{\beta}{\alpha+1} \tag{5.23} \end{equation}\]
## [1] 0.03893829## [1] 0.8737863 0.2984410 0.2912499 0.5844254 0.2694825 0.5206008 0.2133415 0.5389982# Plot Probability Functions
x <- seq(from=0.1, to=20, by=0.1)
plot(x, dinvgamma(x,1,1), ylim=c(0,1), type="l", main="Probability Function",
ylab="density", col="red")
lines(x, dinvgamma(x,1,0.6), type="l", col="green")
lines(x, dinvgamma(x,0.6,1), type="l", col="blue")
legend(2, 0.9, expression(paste(alpha==1, ", ", beta==1),
paste(alpha==1, ", ", beta==0.6), paste(alpha==0.6, ", ", beta==1)),
lty=c(1,1,1), col=c("red","green","blue"))
5.7.3 Qui-quadrado inversa padronizada
A função densidade da qui-quadrado inversa padronizada pode ser dada por \[\begin{equation} f(x|\nu,\tau) = \frac{(\tau^2 \nu)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)} \frac{e^{\frac{-\nu \tau^2}{2x}}}{x^{1+\nu/2}} \tag{5.24} \end{equation}\] onde \(x>0\), \(\nu>0\) (graus de liberdade da qui-quadrado), \(\tau>0\) (escala/scale) e \(\Gamma\) é a função gama. A esperança e variância são dadas por \[\begin{equation} E(X) = \frac{\nu \tau^2}{\nu-2}, \;\; \nu>2 \tag{5.25} \end{equation}\] \[\begin{equation} V(X) = \frac{2\nu^2 \tau^4}{(\nu-2)^2(\nu-4)}, \;\; \nu>4 \tag{5.26} \end{equation}\]
A moda é dada por \[\begin{equation} Mo(X) = \frac{\nu \tau^2}{\nu+2} \tag{5.27} \end{equation}\]
## [1] 0.2419707## [1] 7.6275257 2.3461109 1.8776043 2.3980416 1.5938337 5.1493120 0.2201109 0.2321013 0.1950130 8.0955823#Plot Probability Functions
x <- seq(from=0.1, to=5, by=0.01)
plot(x, dinvchisq(x,0.5,1), ylim=c(0,1), type="l", main="Probability Function",
ylab="density", col="red")
lines(x, dinvchisq(x,1,1), type="l", col="green")
lines(x, dinvchisq(x,5,1), type="l", col="blue")
legend(3, 0.9, expression(paste(nu==0.5, ", ", lambda==1),
paste(nu==1, ", ", lambda==1), paste(nu==5, ", ", lambda==1)),
lty=c(1,1,1), col=c("red","green","blue"))
5.7.4 Normal-Gama
A função densidade da normal-gama pode ser dada pela função bivariada \[\begin{equation} f(x,\tau|\mu,\lambda,\alpha,\beta) = \frac{\beta^{\alpha}\sqrt{\lambda}}{\Gamma(\alpha)\sqrt{2\pi}} \tau^{\alpha-\frac{1}{2}} e^{-\beta \tau} e^{-\frac{\lambda \tau (x-\mu)^2}{2}} \tag{5.28} \end{equation}\] onde \(x \in \mathcal{R}\), \(\tau>0\), \(\mu \in \mathcal{R}\), \(\lambda>0\), \(\alpha>0\), \(\beta>0\) e \(\Gamma\) é a função gama. As esperanças marginais são dadas por \[\begin{equation} E(X) = \mu, \;\; E(T)=\frac{\alpha}{\beta} \tag{5.29} \end{equation}\] As variâncias marginais por \[\begin{equation} V(X) = \frac{\beta}{\lambda(\alpha-1)}, \;\; V(T)=\frac{\alpha}{\beta^2} \tag{5.30} \end{equation}\]
A moda bivariada é dada por \[\begin{equation} Mo(X,T) = \left( \mu, \frac{\alpha-\frac{1}{2}}{\beta} \right) \tag{5.31} \end{equation}\]
5.7.5 Wishart
Occasionally, in the statistical distribution literature, Wishart distributions have been referred to as “multivariate gamma distributions”. We, however, restrict this term to those distributions for which the marginal distribution are of gamma form. (Kotz, Balakrishnan, and Johnson 2000, 431)
De acordo com (G. E. Box and Tiao 1973, 427) e (Statisticat and LLC. 2021)6, a distribuição Wishart (Wishart 1928) é uma generalização multivariada da distribuição qui-quadrado. Não é chamada de distribuição qui-quadrado multivariada, no entanto, pelo fato de a distribuição marginal dos elementos fora da diagonal não ser qui-quadrado.
library(LaplacesDemon)
Omega <- matrix(c(2,-.3,-.3,4),2,2)
LaplacesDemon::dwishart(Omega, 3, matrix(c(1,.1,.1,1),2,2))## [1] 0.003785585## [,1] [,2]
## [1,] 4.5672769 -0.7975769
## [2,] -0.7975769 0.1724443Com a parametrização de Cholesky, considerando o fator triangular superior \(U\) da matriz de precisão \(\Omega\).
library(LaplacesDemon)
Omega <- matrix(c(2,-.3,-.3,4),2,2)
U <- chol(Omega)
LaplacesDemon::dwishartc(U, 3, matrix(c(1,.1,.1,1),2,2))## [1] 0.003785585## [,1] [,2]
## [1,] 2.137119 -0.3732020
## [2,] 0.000000 0.18211155.7.6 Wishart inversa
library(LaplacesDemon)
Sigma <- matrix(c(2,-.3,-.3,4),2,2)
LaplacesDemon::dinvwishart(Sigma, 3, matrix(c(1,.1,.1,1),2,2))## [1] 0.0001079824## [,1] [,2]
## [1,] 1.434238 -0.3196810
## [2,] -0.319681 0.2656181Com a parametrização de Cholesky, considerando o fator triangular superior \(U\) da matriz de covariâncias \(\Sigma\).
library(LaplacesDemon)
Sigma <- matrix(c(2,-.3,-.3,4),2,2)
U <- chol(Sigma)
LaplacesDemon::dinvwishartc(U, 3, matrix(c(1,.1,.1,1),2,2))## [1] 0.0001079824## [,1] [,2]
## [1,] 1.197597 -0.2669354
## [2,] 0.000000 0.44086695.7.7 Normal-Wishart
library(LaplacesDemon)
K <- 3
set.seed(1); mu <- rnorm(K)
set.seed(2); mu0 <- rnorm(K)
nu <- K + 1
S <- diag(K)
set.seed(3); lambda <- runif(1) #Real scalar
set.seed(4); Omega <- as.positive.definite(matrix(rnorm(K^2),K,K))
x <- LaplacesDemon::dnormwishart(mu, mu0, lambda, Omega, S, nu, log=TRUE)
set.seed(5); out <- LaplacesDemon::rnormwishart(n=10, mu0, lambda, S, nu)
joint.density.plot(out$mu[,1], out$mu[,2], color=TRUE)
5.7.8 Normal-Inversa-Wishart
library(LaplacesDemon)
K <- 3
set.seed(1); mu <- rnorm(K)
set.seed(2); mu0 <- rnorm(K)
nu <- K + 1
S <- diag(K)
set.seed(3); lambda <- runif(1) # Real scalar
set.seed(4); Sigma <- as.positive.definite(matrix(rnorm(K^2),K,K))
x <- LaplacesDemon::dnorminvwishart(mu, mu0, lambda, Sigma, S, nu, log=TRUE)
set.seed(5); out <- LaplacesDemon::rnorminvwishart(n=10, mu0, lambda, S, nu)
joint.density.plot(out$mu[,1], out$mu[,2], color=TRUE)
References
Documentação da função
LaplacesDemon::dist.Wishart.↩︎